Grenzwerte von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Do 12.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | s) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^{n^2}
[/mm]
t) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n
[/mm]
u) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] |
Moin,
Sitze grad an der Aufgabe s) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^{n^2} [/mm] fest. Das der Grenzwert hier e ist, ist klar, nur wie zeigt man sowas. Im Internet haben es einige mit Hilfe der Reihe gemacht, aber ist es auch möglich, mit der Folge den Grenzwert zu zeigen?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Do 12.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
daran habe ich auch schon gedacht, aber das sieht mir irgendwie zu einfach aus. Werde wohl mein Prof. fragen.
Gruß
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Für den, der's kann, ist alles einfach. a) soll dich nur auf b) einstimmen - hast du b) schon gelöst, oder ist dir das auch zu einfach?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 So 15.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ja hab ich, war super einfach. *Spaß bei Seite*
Mit einfach meinte ich, dass man schon mit wenig Schritten, zur Lösung kommt. Schien mir für die 3. letzte Aufgabe zu schnell zu gehen.
Naja die t) hab ich so versucht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n [/mm] , das [mm] hoch^n [/mm] genommen und n-te Wurzel gezogen, damit ich auf fast die gleich Form, wie in Aufgabe u) komme. Ach, mein Prof. hat es abgesegnet, substituieren ist hier erlaubt.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{((1+\bruch{1}{n^2})^n)^n} [/mm] | nun [mm] n^2=m [/mm] und [mm] n=\wurzel{m}
[/mm]
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\wurzel[\wurzel{m}]{\limes_{m\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{m})m} [/mm] , sowas hab ich noch nie gesehen, wurzel m-te wurzel , ka obs schön ist, aber ich habe einfach weiter gerechnet. Das unter der Wurzel entspricht der eulerschen Zahl:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty}\wurzel[\wurzel{m}]{e}= \limes_{m\rightarrow\infty}e^{\bruch{1}{\wurzel{m}}} =e^0 [/mm] =1 , entspricht auch der Lösung, aber ob der Weg so i.O.?
Gruß
PS: [mm] u)\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] und bei der Blicke ich nicht wirklch durch. Wenn man den Bruch aufschreibt, also [mm] \bruch{1*2*3*...*n}{n*n*n*...*n}, [/mm] soll man irgendwas abschätzen können, aber ich seh da gar nichts.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu t): Sei [mm] a_n:=(1+\bruch{1}{n^2})^n. [/mm] Dann:
[mm] a_n^n=((1+\bruch{1}{n^2})^n)^n=(1+\bruch{1}{n^2})^{n^2} \to [/mm] e.
Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
1 [mm] \le a_n^n \le [/mm] 3 für alle n > N.
Somit:
1 [mm] \le a_n \le \wurzel[n]{3} [/mm] für alle n > N.
Zu u):
$0 [mm] \le \bruch{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n}{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n} \le \bruch{1}{n}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mi 18.12.2013 | | Autor: | DragoNru |
Alles klar, habs verstanden, danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:45 Fr 13.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> s) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^{n^2}[/mm]
>
> t) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
>
> u) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm]
> Moin,
>
> Sitze grad an der Aufgabe s) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n^2})^{n^2}[/mm]
> fest. Das der Grenzwert hier e ist, ist klar, nur wie zeigt
> man sowas. Im Internet haben es einige mit Hilfe der Reihe
> gemacht, aber ist es auch möglich, mit der Folge den
> Grenzwert zu zeigen?
>
> Gruß
Allgemein: ist [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge und a ihr Limes, so konvergiert jede Teilfolge von [mm] (a_n) [/mm] ebenfalls gegen a.
[mm] ((1+\bruch{1}{n^2})^{n^2}) [/mm] ist Teilfolge von [mm] ((1+\bruch{1}{n})^{n})
[/mm]
FRED
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