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| Aufgabe | Bestimme den folgenden Grenzwert und kommentieren Sie die dazu verwendeten Grenzwertregeln.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{2n+\wurzel{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{2n-\wurzel{n}}) [/mm] |
Hi liebe community,
ich hab mir schon einige Beispiele hier im Forum angeguckt, komme aber leider an einer Stelle nicht weiter.
Zuerst habe ich erweitert, so dass oben die 3. binomische Formel entsteht, dann ausmultipliziert usw.
Dann bekomme ich folgendes raus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (2\wurzel{n})/(\wurzel{2n+\wurzel{n}} [/mm] + [mm] \wurzel{2n -\wurzel{n}} [/mm] )
Ich weiß, dass am Ende als Grenzwert [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] rauskommt, ich komm leider nicht drauf, was ich ausklammern muss.
Ich habe mir das so gedacht, dass ich zuerst im Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammer, die beiden [mm] \wurzel{n} [/mm] sich wegkürzen und nur noch [mm] 2/(\wurzel{...}+\wurzel{...}) [/mm] da steht. Dann fasst man beide Wurzeln zusammen, [mm] \Rightarrow 2/(2*\wurzel{...}) [/mm] dann kürzen sich die zweien weg und es steht [mm] 1/\wurzel{...} [/mm] da. Dann untersuche ich was unter der Wurzel für ein Grenzwert rauskommt, das sollte die 2 sein. Und dann hätte ich das Ergebnis [mm] 1/\wurzel{2} [/mm] als Grenzwert.
Kann man das so machen? Wenn ja hoffe ich auf eine Antwort, die mir ein wenig Erleuchtung bringt :)
Gruß Mojo
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Hallo Mojo,
> Bestimme den folgenden Grenzwert und kommentieren Sie die
> dazu verwendeten Grenzwertregeln.
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{2n+\wurzel{n}}[/mm] -
> [mm]\wurzel{2n-\wurzel{n}})[/mm]
> Hi liebe community,
>
> ich hab mir schon einige Beispiele hier im Forum angeguckt,
> komme aber leider an einer Stelle nicht weiter.
>
> Zuerst habe ich erweitert, so dass oben die 3. binomische
> Formel entsteht,
Das ist eine gute Idee!
> dann ausmultipliziert usw.
>
> Dann bekomme ich folgendes raus:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (2\wurzel{n})/(\wurzel{2n+\wurzel{n}}[/mm] + [mm]\wurzel{2n -\wurzel{n}}[/mm] ) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich weiß, dass am Ende als Grenzwert [mm]1/\wurzel{2}[/mm]
> rauskommt, ich komm leider nicht drauf, was ich ausklammern
> muss.
>
> Ich habe mir das so gedacht, dass ich zuerst im Nenner
> [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammer, die beiden [mm]\wurzel{n}[/mm] sich
> wegkürzen und nur noch [mm]2/(\wurzel{...}+\wurzel{...})[/mm] da
> steht.
Ja, mache das mal konkret. Klammere unter den Wurzeln jeweils n aus und ziehe es gem. [mm]\sqrt{a\cdot{}b}=\sqrt{a}\cdot{}\sqrt{b}[/mm] als [mm]\sqrt{n}[/mm] raus.
> Dann fasst man beide Wurzeln zusammen, [mm]\Rightarrow 2/(2*\wurzel{...})[/mm]
> dann kürzen sich die zweien weg und es steht
> [mm]1/\wurzel{...}[/mm] da. Dann untersuche ich was unter der Wurzel
> für ein Grenzwert rauskommt, das sollte die 2 sein. Und
> dann hätte ich das Ergebnis [mm]1/\wurzel{2}[/mm] als Grenzwert.
>
> Kann man das so machen?
Ja, aber was steht denn konkret nach dem Ausklammern unter den Wurzeln?
Doch [mm]2\pm\frac{\sqrt{n}}{n}[/mm] ...
Das kannst du noch leicht umformen und direkt sehen, dass es gegen 2 konvergiert für [mm]n\to\infty[/mm]
> Wenn ja hoffe ich auf eine Antwort,
> die mir ein wenig Erleuchtung bringt :)
Kannst aufatmen 
>
> Gruß Mojo
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für deine Antwort, jetzt habe ich Gewissheit ;) Ich hatte irgendwie einen Denk- bzw Rechenfehler! (Im partiellen Wurzelziehen war ich noch nie der größte ^^)
Gruß Mojo
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