Grenzwertsätze für Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 So 05.02.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert durch Anwendung der Grenzwertsätze. |
Hallo erstmal.
Habe mal wieder ein riesen Problem.
Wie haben am Freitag mit dem Thema Grenzwertsätze für Folgen angefangen. War da auch noch alles ganz einfach haben eine Beispielaufgabe bekommen und sollten die in der Schreibweise lösen :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3n²+4n+7 / 9n²+7n
Dort haben wir zuerst das n² ausgeklammer :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n²(3+4/n+7/n²) / n² (9+7/n)
Der nächste Schritt hat die Überschrift QF (kann mir vielleicht nur nochmal jemand nebenbei sagen was das bedeutet *schäm*)
QF :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (3+4/n+7/n²) / [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (9+7/n)
Dann nehmen wir den Grenzwertsatz für Summenfolgen :
SF :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3 + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 4/n + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 7/n² / [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 9 + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 7/n
= 3 + 0 + 0 / 9 + 0
= 1/3
Damit liegt der Grenzwert für die Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3n²+4n+7 / 9n²+7n bei 1/3!
Das war unsere Aufgabe an der wir uns orientieren sollen. Nun sitze ich hier aber vor den Hausaufgaben und habe keine Ahnung was der eigenltlich von uns möchte.
z. B :
a) an = n³ + n / [mm] n^4
[/mm]
Das ist doch was ganz anderes oder nicht? Die Folge z.B hier mit n³ nähert sich doch niemals einen bestimmten wert oder? Wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet.
Ähnlich ist es auch bei einer anderen Aufgabe :
e) an = 5n²+4n-2 / 2n²-2n+9
An dieser Aufgabe macht mich einfach stuzig das ein Minuszeichen dadrin vorkommt. Kann ich trotzdem am ende einfach die Summe beider Folgen Dividieren um den Grenzwert zu bekommen? Dann würde ich das nichtmal so schwer finden.
Und zu guter letzt :
g) an = 15 n² -5n²+2n / 3n³-2n-1
Ist eigentlich ähnlich wie bei der 2. Aufgabe. Nur weiß ich nicht was ich hier machen soll, da im Zähler n² und im nenner n³ vorkommt.
Naja ist viel aber wäre super, wenn mir jemand von euch helfen könnte.
Vielen Dank schonmal im Voraus
MFG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 So 05.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kristof,
> Bestimme den Grenzwert durch Anwendung der Grenzwertsätze.
> Hallo erstmal.
> Habe mal wieder ein riesen Problem.
> Wie haben am Freitag mit dem Thema Grenzwertsätze für
> Folgen angefangen. War da auch noch alles ganz einfach
> haben eine Beispielaufgabe bekommen und sollten die in der
> Schreibweise lösen :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 3n²+4n+7 / 9n²+7n
>
> Dort haben wir zuerst das n² ausgeklammer :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n²(3+4/n+7/n²) / n² (9+7/n)
>
> Der nächste Schritt hat die Überschrift QF (kann mir
> vielleicht nur nochmal jemand nebenbei sagen was das
> bedeutet *schäm*)
Q kommt von Quotient, d.h. GW des Q=Q der GW, wenn Nenner nicht 0 wird.
> QF :
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (3+4/n+7/n²) /
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (9+7/n)
>
> Dann nehmen wir den Grenzwertsatz für Summenfolgen :
>
> SF :
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 3 +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 4/n +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 7/n² /
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 9 +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 7/n
>
> = 3 + 0 + 0 / 9 + 0
> = 1/3
>
> Damit liegt der Grenzwert für die Folge
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 3n²+4n+7 / 9n²+7n bei 1/3!
>
> Das war unsere Aufgabe an der wir uns orientieren sollen.
> Nun sitze ich hier aber vor den Hausaufgaben und habe keine
> Ahnung was der eigenltlich von uns möchte.
>
> z. B :
>
> a) an = n³ + n / [mm]n^4[/mm]
>
> Das ist doch was ganz anderes oder nicht? Die Folge z.B
> hier mit n³ nähert sich doch niemals einen bestimmten wert
> oder? Wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet.
Hier klammerst du [mm] n^{4} [/mm] aus.
Aber da der Nenner die höhere Potenz von n hat, weisst du eigentlich schon, dass der GW=0 ist, du musst es mit deinem Verfahren nur noch formalisieren.
Grundsätzlich gilt bei so nem Quotienten: die höchste Potenz bestimmt das Verhalten im Unendlichen, kurz für n gegen [mm] \infty [/mm] spielen die kleineren Potenzen keine Rolle mehr. das ist gut zu wissen, weil man dann den GW schon "sieht", bevor man ihn formal richtig bewiesen hat. deshalb muss man immer die höchst vorkommende Potenz von n ausklammern.
> Ähnlich ist es auch bei einer anderen Aufgabe :
>
> e) an = 5n²+4n-2 / 2n²-2n+9
>
> An dieser Aufgabe macht mich einfach stuzig das ein
> Minuszeichen dadrin vorkommt. Kann ich trotzdem am ende
> einfach die Summe beider Folgen Dividieren um den Grenzwert
> zu bekommen? Dann würde ich das nichtmal so schwer finden.
Summe und Dif. sind in Mathe dasselbe! du addierst einfach was negatives, sonst wie oben.
> Und zu guter letzt :
>
> g) an = 15 n² -5n²+2n / 3n³-2n-1
>
> Ist eigentlich ähnlich wie bei der 2. Aufgabe. Nur weiß ich
> nicht was ich hier machen soll, da im Zähler n² und im
> nenner n³ vorkommt.
Wie oben gesagt, [mm] n^{3} [/mm] ausklammern. dann sieht man, dass Nenner gegen [mm] \infty, [/mm] Zähler gegen 0 geht.
Jetzt versuchs mal, du kannst deine Ergebnisse ja zur Kontrolle posten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 05.02.2006 | | Autor: | Kristof |
Okay.
Bin Fertig geworden. Hoffe es ist alles richtig.
Wäre nett wenn sich das jemand einmal anguckt :
Aufgabe a.)
an = n³ +n / [mm] n^4
[/mm]
Führe jetzt nicht hier die ganze Rechnung aus. Der Grenzwert liegt bei 0 !
b.) an = 3+1/n / 4 - [mm] (-1)^n/n
[/mm]
Da ist der Grenzwert bei mir 0,75!
c.) an = 1/n +n / n
Grenzwert liegt bei 1
d.) an = 4n²+7n+8 /2n²+3n+7
Der Grenzwert liegt bei 2
e.) an = 5n² +4n -2 / 2n³-4n²+1
Der Grenzwert liegt bei 2,5
f.) an = 8n²-4n+2 / 2n³-4n²+1
Der Grenzwert liegt bei 0
g.) 15n²-5n²+2n / 3n³-2n-1
Der Grenzwert liegt bei 0
h.) an = [mm] 12n^4-3n²+1 [/mm] / [mm] 6n^4-4n²+2n
[/mm]
Der Grenzwert liegt bei 2 !
Ist das von den Ergbenisse soweit richtig?
Bedanke mich schonmal für die geleistete Hilfe.
Ihr seit Perfekt, ohne euch wüsst ich echt nicht wie ich solche Sachen machen müssten. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 05.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kristof
Alle Aufgaben sind nach meiner meinung richtig, ausser e) wenn wirklich n{2} im Zähler und n^(3) im Nenner ist GW Null, wenn du dich vrschrieben hast und n{2} im Nenner steht ist dein GW richtig.
(Als Übungsaufgabe musst du aber die Zwischenschritte aufschreiben)
Gruss leduart
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