Grenzwertsätze für Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Sa 14.10.2006 | | Autor: | kris1989 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert für (cn) mit Hilfe der Grenzwertsätze
h) cn= [mm] ((n-1)(2n+1)^n)/(n^2-n^3) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hatte heute schon mal so ne ähnliche Frage gestellt und sie wurde mir beantwortet und aufgrund dessen hoffe ich das ihr mir zu dieser Aufgabe auch noch einen Lösungsweg liefern könnt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Sa 14.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
als allererstes mal, würde ich mal denken du meinst hier den Grenzwert für n gegen unendlich. In diesem Fall kriegst du mit den Grenzwertsätzen ein wenig Probleme, denn es kommt hier etwas raus, was nicht definiert ist.
Es wäre nämlich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n-1)*(2n+1)^{n}}{n^{2}-n^{3}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\overbrace{(n-1)}^{=\infty}*\overbrace{(2n+1)^{n}}^{=\infty}}{\overbrace{n^{2}-n^{3}}^{=\infty}}
[/mm]
Es ist noch nicht mal sicher, ob im Nenner überhaupt Unendlich rauskommen würde oder nicht eher -unendlich.
Wenn man nun die Grenzwertsätze anwenden würde, hätte man:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\infty*\infty}{\infty}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\infty}{\infty}=???
[/mm]
So ein Bruch ist nicht definiert und deshalb kann man auch nicht sagen, gegen welchen Grenzwert das dieser Wert läuft.
Man wendet deshalb die Regeln von L´Hospital an. Das bedeutet, man leitet zuerst den Zähler ab und dann den Nenner. Allerdings nicht zu verwechseln mit der Quotientenregel oder sonstigem. Es wird nur der Zähler einzeln abgeleitet und dann der Nenner. Danach schaut man, ob sich der Grenzwert nun eindeutig bestimmen läßt. Wenn nicht, macht man das ganze Spiel wieder und wieder, so lange bis man eindeutig einen Grenzwert nennen kann.
In diesem Beispiel hier, kann man sehen, egal wie oft man den Zähler ableitet, er wird immer länger, da man Produktregel und Kettenregel anwenden muss. Danach also beim zweiten mal ableiten hätte man wieder ein Produkt und es würde somit der Zähler mit jedem Mal ableiten länger werden. Ganz anders beim Nenner. Dieser wird mit jedem mal ableiten kleiner, bis irgendwann nur noch -6 im Nenner übrigbleibt. Da der Zähler auch nach jedem mal ableiten wieder gegen unendlich geht, wird der ganze Term also gegen -unendlich laufen. Dies sieht man allerdings erst nach einer gewissen Anzahl von Ableitungen des Zählers und Nenners.
Ich hoffe du kannst mit meiner Erklärung etwas anfangen.
Gruß,
clwoe
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Hey kris! Hier jackie.
Ich glaub du bist in Grenwertfolgen vernarrt. Nein seich. Hier der Lösungsweg:
Immer zuerst das n mit der grössten Potenz ausklammern. Obwohl [mm] (2n+1)^{n} [/mm] lassen wir vorerst noch in Ruhe.
[mm] \bruch{n(1+\bruch{1}{n}}{n^{3}(\bruch{1}{n} - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{- n^{2}}
[/mm]
Du weist ja, wie das funktioniert.
Jetzt betrachten wir mal nur [mm] (2n+1)^{n} [/mm] Dort klammern wir n auch aus und zwar folgendermassen:
(n(2 + [mm] \bruch{1}{n}))^{n} [/mm] also gilt [mm] n^{n} [/mm] (2 + [mm] \bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Wenn jetzt n immer grösser wird, wird (2 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] gegen 2 laufen. Also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{n} [/mm] (2 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] n^n 2^n
[/mm]
Das multiplizieren wir mit dem anderen Teil, dessen Grenzwert ja [mm] \bruch{1}{- n^{2}} [/mm] ist.
Und dann gibt das für den Grenzwert folgenden Ausdruck:
[mm] c_{\infty} [/mm] = [mm] \bruch{n^n 2^n}{- n^{2}}
[/mm]
Sieht nicht so wunderschön aus. Mehr habe ich nicht hingekrieg, sorry!
Das ist natürlich noch nicht die Lösung. Aber du kannst nun sehen, dass der Zähler viel schneller wächst als der Nenner. Das Verhältnis wird immer grösser und weil noch ein Minus im Zähler steht, gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cn = [mm] -\infty[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
also wenn n [mm] \to \infty [/mm] gilt, kann der Grenzwert schlecht n's enthalten.
Weiterhin kannst du aus [mm](2 + \bruch{1}{n})^n[/mm] schlecht [mm] 2^n [/mm] machen, nur weil (2 + [mm] \bruch{1}{n}) \to [/mm] 2 geht für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Versuch das mal bitte mit (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Tschau Gonozal!
Man darf einzelne Bereiche des Terms betrachten und nur bei diesen n gegen Unendlich laufen lassen.
Natürlich wäre es schön, wenn am Schluss keine n's mehr drin hätte. Aber das ist bein meiner und bei deiner Lösung der Fall.
Allerdings kann man, wenn man sowohl meine als auch deine Lösung betrachtet, leicht feststellen, dass der Zähler viel schneller wächst als der Nenner. Daher wird es keinen Grenzwert geben, daher - [mm] \infty, [/mm] denn es steht ja noch ein Minus im Nenner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 So 15.10.2006 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Jackie,
deine Methode hat nur einen Haken: Sie funktioniert so nicht.
Nehmen wir als Beispiel mal [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm]. Nach deiner Theorie läuft der Therm in der Klammer für [mm]n\to\infty[/mm] gegen 1, somit läuft der gesammte Therm gegen [mm] 1^n [/mm] = 1.
Allerdings ist der Grenzwert von [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] nicht 1, sondern e.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Das hat was dran, hehe.
Danke, für deine Korrektur.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Tschau Gonozal!
Man darf einzelne Bereiche des Terms betrachten und nur bei diesen n gegen Unendlich laufen lassen.
Natürlich wäre es schön, wenn am Schluss keine n's mehr drin wären. Aber das ist bei meiner und bei deiner Lösung der Fall.
Allerdings kann man, wenn man sowohl meine als auch deine Lösung betrachtet, leicht feststellen, dass der Zähler viel schneller wächst als der Nenner. Daher wird es keinen Grenzwert geben, daher - [mm] \infty, [/mm] denn es steht ja noch ein Minus im Nenner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Tschau Gonozal!
Man darf einzelne Bereiche des Terms betrachten und nur bei diesen n gegen Unendlich laufen lassen.
Natürlich wäre es schön, wenn am Schluss keine n's mehr drin wären. Aber das ist bei meiner und bei deiner Lösung nicht der Fall.
Allerdings kann man, wenn man sowohl meine als auch deine Lösung betrachtet, leicht feststellen, dass der Zähler viel schneller wächst als der Nenner. Daher wird es keinen Grenzwert geben, daher - [mm] \infty, [/mm] denn es steht ja noch ein Minus im Nenner.
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Hiho,
hier hast du einen "traditionellen" Beweis, ohne die Anwendung von l'Hospital oder ähnlichem, nur durch Abschätzung:
[mm]c_n = \bruch{(n-1)(2n+1)^n}{n^2 - n^3} = \bruch{(n-1)(2n+1)^n}{-n^2(n-1)} = -\bruch{(2n+1)^n}{n^2}[/mm]
Soweit so gut, betrachten wir uns nun mal die Folge (ohne das Minus erstmal  )
[mm]\bruch{(2n+1)^n}{n^2} \ge \bruch{(2n+1)^n}{n^n} = (\bruch{2n+1}{n})^n = (2 + \bruch{1}{n})^n \ge 2^n[/mm]
Bekanntermaßen geht [mm] 2^n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
Da [mm] 2^n \le \bruch{(2n+1)^n}{n^2} [/mm] geht somit auch
[mm] \bruch{(2n+1)^n}{n^2} \to \infty [/mm] und damit
- [mm] \bruch{(2n+1)^n}{n^2} [/mm] = [mm] c_n \to -\infty
[/mm]
Gruß,
Gono.
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