Grenzwertsätze umkehrbar? < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 18.09.2006 | | Autor: | DLH350 |
| Aufgabe | | Lege dar, ob die Grenzwertsätze für Funktionen umkehrbar sind! |
Hallo Leute,
die oben gestellte Aufgabe ist nicht besonders lang, aber ich finde einfach keinen Anfang.
Als erstes muss ich ja einen Satz mal umkehren. Dann erhalte ich doch: Wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) [mm] \pm [/mm] g(x) existiert, so existieren auch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x).
Wie lege ich nun dar, dass die Grenzwertsätze nicht umkehrbar sind?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!!!
DLH350
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Also ich würde sagen, dass das bei +, - so zutrifft.
Aber es gibt ja noch * und ÷.
Bei * würde mir schon ein Gegenbeispiel einfallen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(f(x)*g(x))=0
[/mm]
Aber hier kann es auch sein, dass f(x) keinen Grenzwert hat, g(x) aber gegen 0 geht!
Bei ÷ genau das selbe:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{f(x)}{g(x)})=0, g(x)\not=0
[/mm]
f(x) kann für x-> [mm] \infty [/mm] gegen 0 gehen, aber g(x) gegen unendlich.
Bei [mm] \pm [/mm] -Verknüpfungen ist der Satz umkehrbar. Denn wenn
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (f(x) [mm] \pm g(x))=a\pm [/mm] b
[mm] (\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)=a
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x)=b)
gilt und eine Funktion keinen Grenzwert hätte, dann hätte man da z.B. [mm] a\pm \infty [/mm] zu stehen.
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