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Hallo,
und noch eine Verständnisfrage....
Man hat [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f+g)(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] + [mm] g(x_n)) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n)
[/mm]
Wie kommt man davon nun auf [mm] \limes_{x\rightarrow a} (f+g)(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a} (f(x_n) [/mm] + [mm] g(x_n)) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a} f(x_n) [/mm] + [mm] \limes_{x\rightarrow a} g(x_n)
[/mm]
Also von n gegen unendlich auf x gegen a?
Danke,
Gruß
Anna
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> Hallo,
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> und noch eine Verständnisfrage....
> Man hat [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f+g)(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n)[/mm] + [mm]g(x_n))[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n)[/mm]
>
> Wie kommt man davon nun auf [mm]\limes_{x\rightarrow a} (f+g)(x_n)[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow a} (f(x_n)[/mm] + [mm]g(x_n))[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f(x_n)[/mm] + [mm]\limes_{x\rightarrow a} g(x_n)[/mm]
Hallo,
Ich vermute, da soll stehen [mm] x_n \to [/mm] a.
Vielleicht steht irgendwo im Vorfeld, daß
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f+g)(x_n) [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] $ + $ [mm] g(x_n)) [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] $ + $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) [/mm] $
für jede Folge gilt (oder für jede konvergente Folge).
Wenn das so ist, ist es klar, daß es auch für Folgen gilt, die gegen a konvergieren.
In diesem Fall bewirkt [mm] "n\to \infty [/mm] " ja gerade, daß die Folgenglieder immer dichter an a heranrücken. Das Ergebnis von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] und [mm] \limes_{y_n\rightarrow a}y_n [/mm] ist dann gleich.
Paßt das?
Wenn nicht, schildere mal den Zusammen hang, Voraussetzungen und worum es geht, was gezeigt werden soll.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> Ich vermute, da soll stehen [mm]x_n \to a[/mm].
Nein, da steht schon [mm] x \to a[/mm].
Es ging darum, dass a ein Häufungspunkt von D (nicht leer, Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ) ist und f, g [mm] \in Abb(D,\IR) [/mm] mit [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=u [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow a}g(x)=v [/mm] .
Bewiesen wird, dass [mm] \limes_{x\rightarrow a}(f+g)(x)=u+v
[/mm]
Das wird mit dem Folgenkriterium gemacht, so dass man auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f+g)(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)+g(x_n)) =\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)+\limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n) [/mm] also =u+v kommt.
Daraus erhält man dann o.g. Satz (also mit [mm] n\rightarrow\infty [/mm] ).
Danke,
Anna
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> Hallo Angela,
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> > Ich vermute, da soll stehen [mm]x_n \to a[/mm].
>
> Nein, da steht schon [mm]x \to a[/mm].
Hallo,
wenn das so ist, steht da aber
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] (f+g)(x) $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] (f(x) $ + $ g(x)) $ = $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) $ + $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] g(x) $.
Oder es sollte da so stehen.
>
> Es ging darum, dass a ein Häufungspunkt von D (nicht leer,
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ) ist und f, g [mm]\in Abb(D,\IR)[/mm] mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=u[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow a}g(x)=v[/mm]
> .
> Bewiesen wird, dass [mm]\limes_{x\rightarrow a}(f+g)(x)=u+v[/mm]
Achso.
Du hast also zwei Funktionen f und g, welche im Punkt a einen Grenzwert haben, und nun soll gezeigt werden, daß deren Summe f+g auch im Punkt a einen Grenzwert hat, welchen man durch Addition der Grenzwerte der beiden Funktionen erhält.
Bevor man nun loslegt, muß man sich überlegen, was es bedeutet, da? eine Funktion h im Punkt a einen Grenzwert g hat, daß also [mm] \limes_{x\rightarrow a}h(x) [/mm] existiert.
Nach Definition des Grenzwertes von Funktionen redet man von der Existenz eines Grenzwertes g im Punkt a, wenn für jede Folge [mm] (y_n), [/mm] die gegen a konvergiert, die Folge der Funktionswerte [mm] h(y_n) [/mm] gegen g konvergiert, d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h(y_n)=g.
[/mm]
Im konkreten Fall ist also zu zeigen, daß für jede Folge [mm] x_n, [/mm] welche gegen a konvergiert, [mm] (f+g)(x_n) [/mm] gegen u+v konvergiert.
Um [mm] \limes_{x\rightarrow a}(f+g)(x) [/mm] zu ermitteln, ist also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f+g)(x_n) [/mm] für sämtliche gegen a konvergierenden Folgen [mm] x_n [/mm] zu bestimmen.
Nun geht's los.
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge, die gegen a konvergiert. (Weil a Hp ist, gibt's so eine, sonst wäre ja alles sinnlos.)
Nach den Regeln üBer das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f+g)(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)+g(x_n))=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) +\limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n)
[/mm]
=u+v denn nach Voraussetzung haben ja f und g an der Stelle a einen Grenzwert.
Nun weiß man: für jede Folge [mm] x_n, [/mm] die gegen a konvergiert, ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f+g)(x_n)=u+v.
[/mm]
Also hat f+g an der Stelle a einen Grenzwert, und es ist
[mm] \limes_{x\rightarrow a}(f+g)(x)=u+v=\limes_{x\rightarrow a}f(x)+\limes_{x\rightarrow a}g(x). [/mm] (letzteres =-Zeichen nach Voraussetzung.)
Gruß v. Angela
>
> Das wird mit dem Folgenkriterium gemacht, so dass man auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f+g)(x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(f(x_n)+g(x_n)) =\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)+\limes_{n\rightarrow\infty}g(x_n)[/mm]
> also =u+v kommt.
> Daraus erhält man dann o.g. Satz (also mit
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
super! Ich danke Dir für Deine ausführliche und einleuchtende Erklärung!!
Gruß,
Anna
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