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Grenzwertverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mi 26.09.2007
Autor: DaniTwal

Aufgabe
lim                      1-cosx
x->0    ___________________
             x( wurzel {1+x} -1 )
          
              

Ich bin zu folgender Rechnung gekommen:

lim                      1-cosx
x->0    ___________________   / * (1+cosx)    /   * wurzel {1+x} +1
             x( wurzel {1+x} -1 )             ______           _______________
                                                          (1+cosx)            wurzel {1+x} +1


=        lim           1 - [mm] (cosx)^2 [/mm]  *  (wurzel {1+x} +1)        
         x->0          ___________________________            

                             x (1+cosx) + (1+x+1)    


Ich weiß jetzt aber leider nicht, wie ich das x im nenner ausklammern kann , damit ich bei grenzwert gegen 0 keine 0 im nenner stehen habe!

Danke im voraus!
Dani
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.  

        
Bezug
Grenzwertverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Mi 26.09.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo DaniTwal,


> lim                      1-cosx
>  x->0    ___________________
>               x( wurzel {1+x} -1 )


Die Formeln bei dir sind leider nur schwer lesbar. Benutze das nächste mal deshalb bitte den Formeleditor.


Deine Aufgabe lautet also:


[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos x}{x\left(\sqrt{1+x}-1\right)}}[/mm]


Benutze hier den Satz von L'Hospital. Es handelt sich hier um den Fall "[mm]\tfrac{0}{0}[/mm]", d.h. Zähler und Nenner des Quotienten streben gegen 0. Deshalb kannst du die Zähler- & und Nennerfunktion ableiten:


[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\sqrt{1+x}-1+0.5x(1+x)^{-0.5}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin x}{\frac{1+x}{\sqrt{1+x}}-\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}+\frac{0.5x}{\sqrt{1+x}}}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sin(x)\sqrt{1+x}}{1+1.5x-\sqrt{1+x}}}[/mm]


Und jetzt erhalten wir wieder den obigen Fall, also können wir nochmal ableiten:


[mm]\lim_{x\to 0}{\frac{\cos(x)\sqrt{1+x}+0.5\sin(x)(1+x)^{-0.5}}{1.5-0.5(1+x)^{-0.5}}}=\frac{1}{1.5-0.5}=1[/mm]



Viele Grüße
Karl




Bezug
                
Bezug
Grenzwertverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Mi 26.09.2007
Autor: DaniTwal

Erstmal danke für die schnelle Antwort! Leider haben wir die L'Hospital-Rechnung noch gar nicht im Unterricht behandelt. Wir sollten es irgendwie auch so schaffen..
Würde mich daher sehr freuen, wenn du es mir auch ohne L'Hospital demonstrieren könntest.
Gruß,
dani

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertverhalten: erweitern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mi 26.09.2007
Autor: Loddar

Hallo Dani,

[willkommenmr] !!


Erweitere Deinen Bruch mal mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{1+x} \ \red{+} \ 1 \ \right)*\left(1 \ \red{+} \ \cos(x) \ \right)$ [/mm] ...

Anschließend den trigonometrischen Pythagoras [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$ berücksichtigen und den entstehenden Bruch in zwei Einzelbrüche zerlegen ...


Gruß
Loddar


Bezug
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