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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Mi 17.02.2010 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
1. n! << [mm] n^n,
[/mm]
2. [mm] c^n [/mm] << n! für alle c [mm] \in \IR
[/mm]
3. log(log n) << log n
Hinweis: Sie dürfen, falls Sie das benötigen, ohne Beweis benutzen, dass [mm] u^\bruch{1}{u} \to [/mm] 1 (u [mm] \to [/mm] infty) |
Also, mir ist klar, dass ich jetzt in diesem Fall folgende Formel nutzen sollte:
f << g [mm] :\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|f(n)|}{|g(n)|}
[/mm]
Nur weiß ich nicht wie ich bei den Beispielen nicht wie ich da anfangen soll.
Bei a) weiß ich nur: würde man das ausschreiben, kürz sich ein n im Zähler und im Nenner, d.h. im Zähler gibt es nur Zahlen von 1 bis n-1 und im Nenner nur n und das wird zwangsläufig null, aber wie soll ich das mathematisch zeigen?
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Hallo hilado!
Formen wir erst um und schätzen dann ab:
[mm] $$\bruch{n!}{n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*n}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}}_{= \ n \ \text{Faktoren}}$$
[/mm]
Alle Faktoren / Bruchterme sind beschränkt sowie mind. einer der Terme geht gegen 0.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mi 17.02.2010 | | Autor: | hilado |
Vielen Dank für den Hinweis. Bei Nr. 2 wird dass dann genauso ablaufen, d.h. ich hab dann:
[mm] \bruch{c^n}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{c * c * c * ... * c}{1 * 2 * 3 * ... * n} [/mm] = [mm] \bruch{c}{1} [/mm] * [mm] \bruch{c}{2} [/mm] * [mm] \bruch{c}{3} [/mm] * ... * [mm] \bruch{c}{n} [/mm] ... und da n [mm] \to \infty [/mm] werden die Brüche ab einem gewissen Zeitpunkt (und zwar da wo der Nenner größer als c ist) kleiner und somit auch der ganze Term => beschränkt und Grenzwert gegen null
Nur wie rechne ich das bei der 3 aus ? Ein kleiner Hinweis würde mir auch schon helfen ...
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Hallo Hilado,
löse doch mal bei der Ungleichung $log(log(n))<log(n)$ die Logarithmen auf.
Grüße von Andreas
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