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Größter Gemeinsamer Teiler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Di 07.11.2006
Autor: Jeany1004

Aufgabe
Vorraussetzung: a,b,c ganzzahlig wobei a oder b von 0 verschieden

Zeigen sie: Falls die Gleichung: ax+by=c eine Lösung besitzt, für x und y ganzzahlig sind, so wird c vom größten gemeinsamen Teiler von a und b geteilt.


Wie bekomme ich den ggT heraus bzw. wie löse ich die Aufgabe?



Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

lg janina

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Größter Gemeinsamer Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Di 07.11.2006
Autor: M.Rex

Hallo Janina und [willkommenmr]

Es soll ja eine Lösung geben, mit ganzzahligen x und y.

Da a und b und c auch ganzzahlig sind, gilt

ax+by=c
[mm] \gdw \bruch{b}{a}y=\bruch{c}{a}-x [/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{ca}{ba}-\bruch{a}{b}x [/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{c}{b}-\bruch{a}{b}x [/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{c-ax}{b} [/mm] und da y ganzzahlig ist [mm] (\in\IZ), [/mm] ist auch [mm] \bruch{c-ax}{b}\in\IZ, [/mm] also gilt: b teilt (c-ax)

Genauso gilt:
[mm] x=\bruch{c-by}{a}, [/mm] also: a teilt (c-by).

Wenn a (c-by) teilt heisst dass, es gibt ein [mm] \lambda\in\IZ, [/mm] so dass
[mm] \lambda*a=(c-by) [/mm]
[mm] \gdw a=\bruch{c-by}{\lambda} [/mm]

Das wiederum heisst [mm] c-ax=c-\bruch{c-by}{\lambda}*y [/mm]
Insbesondere gilt: [mm] c=\bruch{c-by}{\lambda}*y [/mm]
Und ebenso gilt:
[mm] c-by=c-\bruch{c-ax}{\mu}*x [/mm] und damit
[mm] c=\bruch{c-ax}{\mu}*x [/mm]

Also
[mm] \bruch{c-by}{\lambda}*y=\bruch{c-ax}{\mu}*x [/mm]
[mm] \gdw (c-by)y\mu=(c-ax)x\lambda [/mm]

mit: [mm] c\in\IZ, a\in\IZ, b\in\IZ, x\in\IZ, y\in\IZ, \lambda\in\IZ, [/mm] und [mm] \mu\in\IZ. [/mm]

Jetzt spiel mal ein wenig mit dem ggT und dem kgV herum, dann solltest du zu deiner Lösung kommen.


Marius

Bezug
                
Bezug
Größter Gemeinsamer Teiler: Rückfrage zur Umformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Di 07.11.2006
Autor: PixCell

Hallo Marius!
erst mal herzlichen Dank für deine Mühe. Auch ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten und konnte bis hier ja noch folgen:

> Wenn a (c-by) teilt heisst dass, es gibt ein [mm]\lambda\in\IZ,[/mm]
> so dass
>  [mm]\lambda*a=(c-by)[/mm]
>  [mm]\gdw a=\bruch{c-by}{\lambda}[/mm]

Aber wie kommst du auf die weitere Umformung und wo bekommst du das [mm] \mu [/mm] dann her?

> Das wiederum heisst [mm]c-ax=c-\bruch{c-by}{\lambda}*y[/mm]
>  Insbesondere gilt: [mm]c=\bruch{c-by}{\lambda}*y[/mm]
>  Und ebenso gilt:
>  [mm]c-by=c-\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm] und damit
>  [mm]c=\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm]
>  
> Also
>  [mm]\bruch{c-by}{\lambda}*y=\bruch{c-ax}{\mu}*x[/mm]
>  [mm]\gdw (c-by)y\mu=(c-ax)x\lambda[/mm]
>  
> mit: [mm]c\in\IZ, a\in\IZ, b\in\IZ, x\in\IZ, y\in\IZ, \lambda\in\IZ,[/mm]
> und [mm]\mu\in\IZ.[/mm]

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen, da ich schwer auf dem Schlauch stehe. Tausend Dank im Voraus.

Bezug
                        
Bezug
Größter Gemeinsamer Teiler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Mi 08.11.2006
Autor: M.Rex

Das ist die Definition von "Teilt"

Wenn gilt a teilt b, dann gibt es ein [mm] \lambda, [/mm] so dass [mm] \lambda*a=b. [/mm]

Mathematisch ausgedrückt:

[mm] a|b\gdw\exists\lambda:\lambda*a=b [/mm]

Marius

Bezug
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