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| Aufgabe | Seien [mm] n,m\in\IN\setminus{\{0\}} [/mm] sodass der einzige gemeinsame Teiler von n und m gleich 1 ist.
Zeigen Sie [mm] ggt(X^{n}-1,X^{m}-1)=X-1 [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht voran obwohl Sie garnicht so schwer aussieht.
Ich habe bereits gezeigt das X-1 ein Teiler von [mm] X^{n}-1 [/mm] und [mm] X^{m}-1 [/mm] weil 1 eine Nullstelle der Funktionen ist.
Ich komm aber auf keine Idee wie ich zeigen soll dass alle anderen Teiler auch X-1 teilen.
Insbesondere weiß ich nichts mit der Voraussetzung anzufangen das der einzige Teiler von n und m 1 ist.
Könnte mir bitte jemand helfen?
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]n,m\in\IN\setminus{0}[/mm] sodass der einzige gemeinsame
> Teiler von n und m gleich 1 ist.
> Zeigen Sie [mm]ggt(X^{n}-1,X^{m}-1)=X-1[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht voran obwohl Sie
> garnicht so schwer aussieht.
> Ich habe bereits gezeigt das X-1 ein Teiler von [mm]X^{n}-1[/mm]
> und [mm]X^{m}-1[/mm] weil 1 eine Nullstelle der Funktionen ist.
das hört sich doch schonmal gut an. Du kannst es sogar noch konkreter
machen: Es ist etwa (warum?)
[mm] $$(X^n-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{n-1}X^k\,.$$
[/mm]
Ferner folgt dann natürlich sofort
[mm] $$(X^m-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.$$
[/mm]
> Ich komm aber auf keine Idee wie ich zeigen soll dass alle
> anderen Teiler auch X-1 teilen.
(Edit: roter Teil ergänzt!)
Machen wir es so: Angenommen, es gäbe einen weiteren Teiler [mm] $t\,$ [/mm] mit $t [mm] |(X^m-1)$ $\red{\text{und } t|(X^n-1)}\,,$ [/mm]
aber $t [mm] \,\not|\,\,(X-1)\,.$ [/mm] O.E. können wir annehmen, dass [mm] $t\,$ [/mm] prim ist (warum?). Dann folgt $t | [mm] \sum_{k=0}^{m-1} X^k\,.$
[/mm]
Guck' mal, ob Du damit weiterkommst! (Vielleicht macht es auch Sinn, o.E.
$n > [mm] m\,$ [/mm] anzunehmen... Und beachte: Du willst ja einen Widerspruch zu
[mm] $\ggT(n,m)=1\,$ [/mm] bauen!)
> Insbesondere weiß ich nichts mit der Voraussetzung
> anzufangen das der einzige Teiler von n und m 1 ist.
Siehe oben: Wenn das der einzige Teiler ist, ist es schon der [mm] $\ggT\,,$ [/mm] denn
hier steht ja nur was von Zahlen aus [mm] $\IN \setminus \{0\}\,.$ [/mm] In [mm] $\IZ\,$ [/mm] etwa
redet man zwar auch von DEM ggT, aber dort ist er nur eindeutig bis auf
Assoziiertheit, d.h. dort könnte "der" [mm] $\ggT=1$ [/mm] oder [mm] $=-1\,$ [/mm] sein...
(Was ich damit sagen will: Wenn man in [mm] $\IZ$ [/mm] sagt, dass DER EINZIGE
Teiler von [mm] $n\,$ [/mm] und [mm] $m\,$ [/mm] =1 ist, macht das wenig Sinn. Wenn man sagt,
dass [mm] $\ggT(n,m)=1\,$ [/mm] ist, so meint man, dass [mm] $\ggT(n,m)$ [/mm] jedenfalls eine
zu 1 assoziierte Zahl ist...).
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> das hört sich doch schonmal gut an. Du kannst es sogar
> noch konkreter
> machen: Es ist etwa (warum?)
> [mm](X^n-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{n-1}X^k\,.[/mm]
> Ferner folgt dann natürlich sofort
> [mm](X^m-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.[/mm]
Das sieht nach einer Teleskopsumme aus, also fliegt am Ende alles ausser [mm] X^{n}-1 [/mm] bzw [mm] X^{m}-1 [/mm] raus.
> Machen wir es so: Angenommen, es gäbe einen weiteren
> Teiler [mm]t\,[/mm] mit [mm]t |(X^m-1)\,,[/mm] aber
> [mm]t \,\not|\,\,(X-1)\,.[/mm] O.E. können wir annehmen, dass [mm]t\,[/mm]
> prim ist (warum?). Dann folgt [mm]t | \sum_{k=0}^{m-1} X^k\,.[/mm]
Den Begriff kenn ich nicht, habe bei Wiki nachgeschaut meinst du das Primelement? Falls ja dann folgt das aus
der Definition.
> Guck' mal, ob Du damit weiterkommst! (Vielleicht macht es
> auch Sinn, o.E.
> [mm]n > m\,[/mm] anzunehmen... Und beachte: Du willst ja einen
> Widerspruch zu
> [mm]\ggT(n,m)=1\,[/mm] bauen!)
Das sehe ich jetzt noch nicht, ich denk mal nach und melde mich dann.
>
> > Insbesondere weiß ich nichts mit der Voraussetzung
> > anzufangen das der einzige Teiler von n und m 1 ist.
>
> Siehe oben: Wenn das der einzige Teiler ist, ist es schon
> der [mm]\ggT\,,[/mm] denn
> hier steht ja nur was von Zahlen aus [mm]\IN \setminus \{0\}\,.[/mm]
> In [mm]\IZ\,[/mm] etwa
> redet man zwar auch von DEM ggT, aber dort ist er nur
> eindeutig bis auf
> Assoziiertheit, d.h. dort könnte "der" [mm]\ggT=1[/mm] oder [mm]=-1\,[/mm]
> sein...
> (Was ich damit sagen will: Wenn man in [mm]\IZ[/mm] sagt, dass DER
> EINZIGE
> Teiler von [mm]n\,[/mm] und [mm]m\,[/mm] =1 ist, macht das wenig Sinn. Wenn
> man sagt,
> dass [mm]\ggT(n,m)=1\,[/mm] ist, so meint man, dass [mm]\ggT(n,m)[/mm]
> jedenfalls eine
> zu 1 assoziierte Zahl ist...).
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank,
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > das hört sich doch schonmal gut an. Du kannst es sogar
> > noch konkreter
> > machen: Es ist etwa (warum?)
> > [mm](X^n-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{n-1}X^k\,.[/mm]
> > Ferner folgt dann natürlich sofort
> > [mm](X^m-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.[/mm]
>
> Das sieht nach einer Teleskopsumme aus, also fliegt am Ende
> alles ausser [mm]X^{n}-1[/mm] bzw [mm]X^{m}-1[/mm] raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Wenn man's vergisst, berechnet man einfach mal [mm] $(X^n-1):(X-1)\,$ [/mm] mit der
 Polynomdivision!)
> > Machen wir es so: Angenommen, es gäbe einen weiteren
> > Teiler [mm]t\,[/mm] mit [mm]t |(X^m-1)\,,[/mm] aber
> > [mm]t \,\not|\,\,(X-1)\,.[/mm] O.E. können wir annehmen, dass
> [mm]t\,[/mm]
> > prim ist (warum?). Dann folgt [mm]t | \sum_{k=0}^{m-1} X^k\,.[/mm]
>
> Den Begriff kenn ich nicht, habe bei Wiki nachgeschaut
> meinst du das Primelement?
Wir reden besser von einem - die Dinger sind ja nicht eindeutig. Und ja:
Wenn ich sage, dass das Element [mm] $t\,$ [/mm] prim ist, meine ich damit, dass [mm] $t\,$
[/mm]
ein Primelement ist. Normalerweise wird der Begriff prim aber auch definiert:
Ist [mm] $p\,$ [/mm] in einem Integritätring weder die Null noch ein Teiler der Eins, so
heißt [mm] $p\,$ [/mm] prim, wenn zudem für alle Elemente [mm] $a,b\,$ [/mm] des Integritätsring
die Folgerung
$$p|a*b [mm] \Rightarrow [/mm] p|a [mm] \vee [/mm] p|b$$
gilt.
> Falls ja dann folgt das aus der Definition.
Die Frage war eher: Warum können wir denn o.E. annehmen, dass [mm] $t\,$ [/mm] prim
sei? Die Antwort ist i.W.: Wegen Primfaktorzerlegung!
> > Guck' mal, ob Du damit weiterkommst! (Vielleicht macht es
> > auch Sinn, o.E.
> > [mm]n > m\,[/mm] anzunehmen... Und beachte: Du willst ja einen
> > Widerspruch zu
> > [mm]\ggT(n,m)=1\,[/mm] bauen!)
>
> Das sehe ich jetzt noch nicht, ich denk mal nach und melde
> mich dann.
Okay, bis dahin warte ich mal!
P.S. Ich habe natürlich etwas vergessen zu erwähnen:
Aus $t [mm] \not| [/mm] (X-1)$ folgt nicht nur [mm] $t|\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,,$ [/mm] sondern zudem auch [mm] $t|\sum_{k=0}^{n-1}X^k$... [/mm] Gleicher Grund, unter der
Annahme (die man o.E. treffen darf), dass [mm] $t\,$ [/mm] prim ist!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich komm leider immernoch nicht weiter.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi helicopter,
ich hab' da was ergänzt:
Wenn [mm] $t\,$ [/mm] prim ist und [mm] $t\;{\not|}\;(X-1)\,,$ [/mm] aber $t | [mm] (X^n-1)$ [/mm] und [mm] $t|(X^m-1)\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$t|\sum_{k=0}^{n-1}X^k \text{ und }t|\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.$$
[/mm]
Es gibt also $r,s [mm] \in \IN \setminus \{0\}$ [/mm] mit
[mm] $$rt=\sum_{k=0}^{n-1}X^k \text{ und }st=\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.$$
[/mm]
Ist o.E. $n > [mm] m\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $$rt=\sum_{k=0}^{n-1}X^k=\sum_{k=0}^{m-1}X^k+\sum_{k=m}^{n-1}X^k=st+\sum_{k=m}^{n-1}X^k=st+X^m\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k\,.$$
[/mm]
Klar ist, dass [mm] $t|(r-s)t\,,$ [/mm] also folgt
$$t | [mm] X^m \sum_{k=0}^{n-m-1}X^k\,.$$
[/mm]
Jetzt kann man sicher weitermachen: Weil [mm] $t\,$ [/mm] prim, ist [mm] $t\,$ [/mm] Teiler von [mm] $X^m$
[/mm]
oder Teiler von [mm] $\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k\,.$ [/mm] Wäre [mm] $t\,$ [/mm] Teiler von [mm] $X^m\,,$ [/mm] so beachte man, dass ja
auch [mm] $t\,$ [/mm] Teiler von [mm] $X^{m}-1$ [/mm] ist...
(Was ist aber stets [mm] $\ggT(n,n+1)$?)
[/mm]
Daher muss $t | ...$(?) gelten...
So komplett zu Ende gedacht habe ich das noch nicht, aber ich schätze/hoffe,
dass das funktionieren wird!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank aber ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch :(
> Jetzt kann man sicher weitermachen: Weil [mm]t\,[/mm] prim, ist [mm]t\,[/mm]
> Teiler von [mm]X^m[/mm]
> oder Teiler von [mm]\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k\,.[/mm] Wäre [mm]t\,[/mm] Teiler
> von [mm]X^m\,,[/mm] so beachte man, dass ja
> auch [mm]t\,[/mm] Teiler von [mm]X^{m}-1[/mm] ist...
> (Was ist aber stets [mm]\ggT(n,n+1)[/mm]?)
>
> Daher muss [mm]t | ...[/mm](?) gelten...
>
ggt(n,n+1) ist 1, also gilt [mm] t|\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k [/mm] , aber ich sehe einfach nicht was mir das bringt.
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> vielen Dank aber ich stehe irgendwie total auf dem Schlauch
> :(
>
>
> > Jetzt kann man sicher weitermachen: Weil [mm]t\,[/mm] prim, ist [mm]t\,[/mm]
> > Teiler von [mm]X^m[/mm]
> > oder Teiler von [mm]\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k\,.[/mm] Wäre [mm]t\,[/mm]
> Teiler
> > von [mm]X^m\,,[/mm] so beachte man, dass ja
> > auch [mm]t\,[/mm] Teiler von [mm]X^{m}-1[/mm] ist...
> > (Was ist aber stets [mm]\ggT(n,n+1)[/mm]?)
> >
> > Daher muss [mm]t | ...[/mm](?) gelten...
> >
> ggt(n,n+1) ist 1, also gilt [mm]t|\sum_{k=0}^{n-m-1}X^k[/mm] , aber
> ich sehe einfach nicht was mir das bringt.
ich wollte versuchen, das Ganze mal "elementar" zu Ende zu führen. Wie
gesagt: Zu Ende gedacht habe ich das noch nicht. Wenn Du nun aber sagst,
dass reverends Lösung mit dem Hinweis auf den euklidischen Algorithmus
Dir reicht, brauchen wir das auch nicht. Ist halt die Frage:
Darf der schon angewendet werden?
Wenn nicht, müssen wir's halt nur mit Teilbarkeitsargumenten zu Ende
bringen (was im Endeffekt wohl zu den Schritten führt, die im Beweis
des euklidischen Algorithmus stehen).
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel, ich glaube nicht das der Algorithmus angewandt werden darf, wir haben diesen in der Vorlesung nicht eingeführt.
Gruss helicopter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel, ich glaube nicht das der Algorithmus
> angewandt werden darf, wir haben diesen in der Vorlesung
> nicht eingeführt.
sowas habe ich schon fast "befürchtet". Ich überlege mal, wie's weitergeht.
Was mir klar erscheint, ist, dass wir eigentlich generell "nur" die Fälle
$m [mm] \le [/mm] n < 2m$ zu untersuchen brauchen.
Schauen wir mal, wie's weitergehen könnte. Dazu sollten wir das bisherige
nochmal zusammenfassen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Helicopter,
schauen wir nochmal:
Wir hatten, o.E. [mm] $t\,$ [/mm] prim, $n > [mm] m\,,$ [/mm] $t [mm] \not| [/mm] (X-1)$ und schon gefolgert:
[mm] $$t|\sum_{k=0}^{n-1}X^k \;\;\;\wedge\;\;\; t|\sum_{k=1}^{m-1}X^k\,.$$
[/mm]
Wir hatten schon [mm] $t\not|\;X^m\,.$ [/mm] Weil [mm] $t\,$ [/mm] prim ist, folgt dann auch $t [mm] \not|X^{\ell*m}$ [/mm] für jedes [mm] $\ell \in \IN\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $n=\ell*m+r$ [/mm] mit einem [mm] $\ell \in \IN\setminus \{0\}$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] r < [mm] m\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$\sum_{k=0}^{n-1}X^k=\sum_{k=0}^{\ell*m+r}X^k\,.$$
[/mm]
Überlege Dir nun, dass
[mm] $$\sum_{k=0}^{\ell*m-1}X^k$$
[/mm]
durch [mm] $t\,$ [/mm] teilbar ist.
Deswegen reicht es wegen
[mm] $$\sum_{k=0}^{\ell*m+r}X^k=\sum_{k=0}^{\ell*m-1}X^k+\sum_{k=\ell*m}^{\ell*m+r}X^k=\sum_{k=0}^{\ell*m-1}X^k+X^{\ell*m}\sum_{k=0}^{r}X^k$$
[/mm]
zu beweisen, dass $t [mm] \not|\sum_{k=0}^{r}X^k\,.$
[/mm]
So, wieder sind wir einen kleinen Schritt weiter..
(Allerdings scheint mir, dass das Ganze hier echt unschön wird...)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Antworten, aber ich verstehe immernoch nicht so recht was wir da machen.
> So, wieder sind wir einen kleinen Schritt weiter..
> (Allerdings scheint mir, dass das Ganze hier echt unschön
> wird...)
Das Gefühl habe ich auch und ich bin mir nicht sicher ob das wirklich so vom Prof gemeint war,
seine Aufgabenzettel gingen bisher ziemlich schnell. Es kann sein das er Morgen erst den Euklidischen Algorithmus
einführt da wir letzte Woche bei der Definition vom ggT stehen geblieben sind. Normalerweise ist die Zettelabgabe
am Donnerstag aber wegen einem Feiertag auf Mittwoch verschoben, ich frag mal meinen Tutor ob der Algorithmus
angewendet werden darf.
Falls ja wäre halt die Frage wie es hier funktioniert, ich habe mir ein paar Seiten dazu angeschaut und die Funktionsweise
wenn man diesen auf Zahlen anwendet ist klar, aber hier habe ich Polynome.
> Gruß,
> Marcel
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 28.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> vielen Dank für deine Antworten, aber ich verstehe
> immernoch nicht so recht was wir da machen.
>
> > So, wieder sind wir einen kleinen Schritt weiter..
> > (Allerdings scheint mir, dass das Ganze hier echt
> unschön
> > wird...)
>
> Das Gefühl habe ich auch und ich bin mir nicht sicher ob
> das wirklich so vom Prof gemeint war,
> seine Aufgabenzettel gingen bisher ziemlich schnell. Es
> kann sein das er Morgen erst den Euklidischen Algorithmus
> einführt da wir letzte Woche bei der Definition vom ggT
> stehen geblieben sind. Normalerweise ist die Zettelabgabe
> am Donnerstag aber wegen einem Feiertag auf Mittwoch
> verschoben, ich frag mal meinen Tutor ob der Algorithmus
> angewendet werden darf.
>
> Falls ja wäre halt die Frage wie es hier funktioniert, ich
> habe mir ein paar Seiten dazu angeschaut und die
> Funktionsweise
> wenn man diesen auf Zahlen anwendet ist klar, aber hier
> habe ich Polynome.
der funktioniert auch bei Polynomen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidischer_Algorithmus#Polynome
Allgemein funktioniert der Algorithmus in euklidischen Ringen.
Nebenbei: Ich empfehle Dir mal das Buch "Elementare und algebraische
Zahlentheorie" von Müller-Stach und Piontkowski, denn ich habe auch
keine Kenntnisse in Zahlentheorie, außer jenen, die ich mir damit bisher
selbst erarbeitet habe - ich glaube, dass das relativ gut und verständlich
ist. Insbesondere gibt es zu den Aufgaben Lösungshinweise, und ich
bin mir meine Lösungen eh am ab-Latexen ^^
P.S. Achja: Stichwort wäre hier noch "Polynomdivision"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:02 Mi 29.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Geduld. Der Euklidsche Algorithmus wurde wie vermutet heute in der Vorlesung eingeführt und bewiesen.
Naja, besser später als nie :)
Gruß helicopter
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Hallo helicopter,
> > das hört sich doch schonmal gut an. Du kannst es sogar
> > noch konkreter
> > machen: Es ist etwa (warum?)
> > [mm](X^n-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{n-1}X^k\,.[/mm]
> > Ferner folgt dann natürlich sofort
> > [mm](X^m-1)=(X-1)*\sum_{k=0}^{m-1}X^k\,.[/mm]
>
> Das sieht nach einer Teleskopsumme aus, also fliegt am Ende
> alles ausser [mm]X^{n}-1[/mm] bzw [mm]X^{m}-1[/mm] raus.
Ja. Bis hierhin reichts auch, um schnell anders fertig zu werden:
Bestimme jetzt den [mm] \ggT{\left(\summe_{k=0}^{n-1}X^k,\;\summe_{k=0}^{m-1}X^k}\right) [/mm] mit dem euklidischen Algorithmus. Beachte, dass die erste Summe n Glieder, die zweite m Glieder hat (und die Teilerfremdheit von m und n).
Die Aufgabe begegnet Dir manchmal auch so:
Sei [mm] s=\ggT{(n,m)}.
[/mm]
Zeige [mm] \ggT{(x^n-1,x^m-1)}=x^s-1.
[/mm]
Damit hättest Du den hier vorliegenden Spezialfall s=1 gleich mit erschlagen.
Grüße
reverend
> > Machen wir es so: Angenommen, es gäbe einen weiteren
> > Teiler [mm]t\,[/mm] mit [mm]t |(X^m-1)\,,[/mm] aber
> > [mm]t \,\not|\,\,(X-1)\,.[/mm] O.E. können wir annehmen, dass
> [mm]t\,[/mm]
> > prim ist (warum?). Dann folgt [mm]t | \sum_{k=0}^{m-1} X^k\,.[/mm]
>
> Den Begriff kenn ich nicht, habe bei Wiki nachgeschaut
> meinst du das Primelement? Falls ja dann folgt das aus
> der Definition.
>
> > Guck' mal, ob Du damit weiterkommst! (Vielleicht macht es
> > auch Sinn, o.E.
> > [mm]n > m\,[/mm] anzunehmen... Und beachte: Du willst ja einen
> > Widerspruch zu
> > [mm]\ggT(n,m)=1\,[/mm] bauen!)
>
> Das sehe ich jetzt noch nicht, ich denk mal nach und melde
> mich dann.
>
> >
> > > Insbesondere weiß ich nichts mit der Voraussetzung
> > > anzufangen das der einzige Teiler von n und m 1 ist.
> >
> > Siehe oben: Wenn das der einzige Teiler ist, ist es schon
> > der [mm]\ggT\,,[/mm] denn
> > hier steht ja nur was von Zahlen aus [mm]\IN \setminus \{0\}\,.[/mm]
> > In [mm]\IZ\,[/mm] etwa
> > redet man zwar auch von DEM ggT, aber dort ist er nur
> > eindeutig bis auf
> > Assoziiertheit, d.h. dort könnte "der" [mm]\ggT=1[/mm] oder
> [mm]=-1\,[/mm]
> > sein...
> > (Was ich damit sagen will: Wenn man in [mm]\IZ[/mm] sagt, dass
> DER
> > EINZIGE
> > Teiler von [mm]n\,[/mm] und [mm]m\,[/mm] =1 ist, macht das wenig Sinn.
> Wenn
> > man sagt,
> > dass [mm]\ggT(n,m)=1\,[/mm] ist, so meint man, dass [mm]\ggT(n,m)[/mm]
> > jedenfalls eine
> > zu 1 assoziierte Zahl ist...).
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Vielen Dank,
>
> Gruß helicopter
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