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| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2) [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 |
Die Definition lautet:
f(x) = O(g(x)) [mm] \Leftrightarrow \exists \epsilon [/mm] >0: [mm] \bruch{f(x)}{g(x)}\le [/mm] c [mm] \forall x\in (B_{\epsilon}(x_0)\setminus \{x_0\})\cap [/mm] D.
Meine Idee:
[mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2) [/mm] für [mm] x\rightarrow [/mm] 0
[mm] \Rightarrow (1+x)^n-nx-1=O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow (1+x)^n-nx-1\le cx^2
[/mm]
Ist dieser Ansatz richtig? Und was hat [mm] x\rightarrow [/mm] 0 damit zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Do 10.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schuricht,
Dein Ansatz beweist nichts. Ich empfehle dir den Binomischen
Lehrsatz zu benutzen, denn damit wird es sofort klar.
Gruß
DieAcht
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In welchem Zusammenhang soll ich diesen Satz benutzen? Wie ist denn das Vorgehen generell? Soll ich zunächst O(...) auf eine Seite und den Rest auf die Andere?
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Hallo,
> In welchem Zusammenhang soll ich diesen Satz benutzen? Wie
> ist denn das Vorgehen generell? Soll ich zunächst O(...)
> auf eine Seite und den Rest auf die Andere?
also wenn ich den Tipp von Die Acht richtig verstanden habe, dann geht das alles viel einfacher. Wenn du per binomischer Formel ausmultiplizierst und dann durch [mm] x^2 [/mm] dividierst, was passiert dann
- mit den ersten beiden Summanden
- mit dem dritten Summanden
- mit den weiteren Summanden angesichts [mm] x\to{0}?
[/mm]
Die Antworten auf diese Fragen begründen die Behauptung meiner Meinung nach hinreichend. Man korrigiere mich bitte, wenn ich hier falsch liege.
Gruß, Diophant
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Ich habe ja kein gegebenes n:
[mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k-1-nx=O(x^2).
[/mm]
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Hallo,
schreibe mal
[mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}x^k=1+nx+\vektor{n\\2}x^2+\vektor{n\\3}x^3+...+x^n
[/mm]
Vielleicht erschließt sich dir damit der Sinn des gegebenen Hinweises.
Gruß, Diophant
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okay
dann steht also da:
[mm] \vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}=O(1) [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 10.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Schuricht!
> okay
>
> dann steht also da:
> [mm]\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}=O(1)[/mm] ?
Das ist schonmal die richtige Richtung...
Es gilt ja [mm](1+x)^n=1+nx+\binom{n}{2}x^2+\ldots +x^n[/mm]. Die ersten zwei Summanden passen schon, es bleibt zu zeigen, dass [mm]\binom{n}{2}x^2+\ldots +x^n=O(x^2)[/mm].
Bemühe dafür die Definition: Du musst zeigen, dass es ein [mm]\varepsilon >0[/mm] gibt, so dass [mm]\frac{x^2}{\binom{n}{2}x^2+\ldots +x^n}<\varepsilon[/mm]. Wie groß kann dieser Term denn maximal werden? Gibt es überhaupt ein Maximum?
Weißt du, wie du [mm] $O(x^2)$ [/mm] "umgangssprachlich" ausdrücken kannst? Vielleicht hilft dir das ja dabei diese Schreibweise zu verstehen...
Lieben Gruß,
Fulla
EDIT: Habe Zähler und Nenner vertauscht - siehe unten.
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Ich bin total verwirrt.
Wieso muss ich jetzt genau das zeigen? Und was ist mit der Information x [mm] \rightarrow [/mm] 0?
[mm] \bruch{1}{\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}}.
[/mm]
Sorry, wir hatten dazu weder eine Übung noch Beispiele in der Vorlesung :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 10.04.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück!
> Ich bin total verwirrt.
>
> Wieso muss ich jetzt genau das zeigen? Und was ist mit der
> Information x [mm]\rightarrow[/mm] 0?
>
> [mm]\bruch{1}{\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}}.[/mm]
>
> Sorry, wir hatten dazu weder eine Übung noch Beispiele in
> der Vorlesung :(
Nun, es wird der Term [mm](1+x)^n[/mm] untersucht. Man interessiert sich besonders für die Termwerte in der Nähe von [mm]x=0[/mm] (darum das [mm]x\rightarrow 0[/mm]), ist aber mit einer Näherung zufrieden.
Die Aussage von [mm](1+x)^n=1+nx+O(x^2)[/mm] für [mm]x\rightarrow 0[/mm] ist: In einer Umgebung von [mm]x=0[/mm] gilt [mm](1+x)^n\approx 1+nx[/mm] und die Abweichung ist höchstens von der Größenordnung [mm]x^2[/mm]. (Wenn x sehr nahe an 0 ist (und insbesondere kleiner als 1), dann wird x durch das Quadrieren noch kleiner, trägt also recht wenig bei und kann daher vernachlässigt werden - und höhere Potenzen erst recht.)
Deine Aufgabe hier ist, dich mit der Schreibweise [mm]O(x^2)[/mm] vertraut zu machen und die ist wie oben definiert.
Hier ist [mm]g(x)=x^2[/mm], [mm]f(x)=\binom n2 x^2+\binom n3 x^3+...+x^{n}[/mm] und [mm]x_0=0[/mm].
Willst du die O-Schreibweise verwenden, musst du zeigen, dass [mm]\frac{f(x)}{g(x)}[/mm] für [mm]x\rightarrow 0[/mm] einen Grenzwert besitzt. (Ich hab oben überigens Zähler und Nenner vertauscht...)
Es ist [mm]\frac{f(x)}{g(x)}=\binom n2+\binom n3 x+...+x^{n-2}[/mm] und du musst zeigen, dass in einer (beliebig kleinen) Umgebung [mm]x\in B_\varepsilon(0)[/mm] gilt [mm]\frac{f(x)}{g(x)}<\varepsilon[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Okay,
also muss gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\vektor{n \\ 2}+...+x^{n-2}=\vektor{n \\ 2}.
[/mm]
Und [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] muss für n [mm] \rightarrow \infty [/mm] beliebig klein werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:46 Fr 11.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Guten Morgen,
Das macht am Ende keinen Sinn. Es gilt:
[mm] \vektor{n \\ 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.
[/mm]
Was folgt nun?
Du hast die Definition noch nicht richtig verstanden. Was
bedeutet denn der folgende Ausdruck:
[mm] g(x)=\mathcal O(x^2) $(x\to [/mm] 0)$.
Antwort in Worten:
[mm] \frac{g(x)}{x^2} [/mm] ist in der Nähe von Null beschränkt!
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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Dann gilt, das [mm] \vektor{n \\ 2} \rightarrow \infty. [/mm] Und was sagt mir das jetzt? Was macht am Ende keinen Sinn? Die gesamte Lösung bis jetzt?
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Moin,
> Dann gilt, das [mm]\vektor{n \\ 2} \rightarrow \infty.[/mm]
man versthet noch nicht einmal, was du uns damit sagen möchtest.
> Und was
> sagt mir das jetzt?
Nichts, weil es nämlich mit deiner Frage nichts zu tun hat.
> Was macht am Ende keinen Sinn? Die
> gesamte Lösung bis jetzt?
So muss man es konstatieren. Von Lösung kann man überhaupt noch nicht sprechen. Beachte einmal, dass n zwar beliebig aber als fest angenommen wird, insofern interessiert dich nicht, was für [mm] n\to\infty [/mm] passiert. Es geht einzig und allein darum, wie sich das Binom
[mm] (1+x)^n
[/mm]
in einer unmittelbaren Umgebung von x=0 verhält, und dazu wurde alles notwendige gesagt, du gehst aber überhaupt nicht richtig darauf ein sondern beharrst auf deinen falschen Ideen.
Sowohl DieAcht wie auch Fulla haben dir dezidiert hingeschrieben, was zu tun ist, also mache es, oder frage nach, was dir daran noch unklar ist.
Gruß, Diophant
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Ich habe:
[mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k=1+nx+O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=1+nx+O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=O(x^2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Es muss gelten, dass [mm] \bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2}=\vektor{n \\ 2}+...+x^{n-2} [/mm] für x in einer Umgebung um 0 beliebig klein gemacht werden kann. Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\vektor{n \\ 2}+...+x^{n-2}=\vektor{n \\ 2}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2} \le \vektor{n \\ 2} [/mm] für alle x in einer Umgebung von 0. [mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung.
Ist das so i. O.?
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Hallo Schuricht,
es sieht so aus, als ob du so langsam verstanden hast, worum es geht. Aber deine gnaze Implikationskette da oben, die ist nach wie vor völlig wirr. Es macht in meinen Augen keinen Sinn, das aufzudröseln.
Diese Idee:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2} \le \vektor{n \\ 2}[/mm]
> für alle x in einer Umgebung von 0. [mm]\Rightarrow[/mm] die
> Behauptung.
ist ein Schritt in die richtige Richtung. Aber der Binomialkoeffizient auf der rechten Seite ist zu klein, deine Abschätzung stimmt nicht, denn für positive x sieht man sofort ein, dass die Summe links größer ist als deine angebliche Schranke. Als Tipp nimm nun einmal als Umgebung das Intervall [-1;1], erinnere dich an ein paar grundlegende Tatsachen rund um Binomialkoeffizienten (wie groß ist die Summe der n. Zeile im Pascalschen Dreieck) und du hast eine wunderbar einfache Schranke, die um einiges größer ist als deine, aber das ist egal: sie muss endlich sein, darauf kommt es an.
Gruß, Diophant
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Dazu habe ich aber noch eine Frage:
Du schreibst: "für positive x sieht man sofort". Aber ich dachte, ich lasse x gegen 0 laufen? Oder ist das gar nicht die Grundidee?
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Hallo Schuricht,
> Dazu habe ich aber noch eine Frage:
>
> Du schreibst: "für positive x sieht man sofort". Aber ich
> dachte, ich lasse x gegen 0 laufen? Oder ist das gar nicht
> die Grundidee?
Deine Abschätzung ist halt Mist, das ist die ganze Sache. Wenn du es so machst wie auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia, dann geht es schon für den von dir aufgestellten Term um den Grenzwert für [mm] x\to{0}, [/mm] und der ist gleich [mm] \vektor{n\\2}. [/mm] Wenn du es aber per Abschätzen nach oben machen möchtest (wie es dein Startbeitrag nahelegt!), für diesen Fall wäre eben wie mehrfach gesagt der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n\\2} [/mm] als obere Schranke völlig unbrauchbar.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Fr 11.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schuricht,
Ich finde es wichtig, dass du die Fehler deiner Ausführung
erkennst. Aus diesem Grund will ich dich auf deine Hinweisen.
> Ich habe:
>
> [mm](1+x)^n=1+nx+O(x^2)[/mm]
Nein.
Zu zeigen: [mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2), $(x\to [/mm] 0)$ für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k=1+nx+O(x^2)[/mm]
Nein.
Das Ende ist zu zeigen!
> [mm]\Rightarrow1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=1+nx+O(x^2)[/mm]
> [mm]\Rightarrow\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=O(x^2)[/mm]
Die Implikation macht keinen Sinn hier. Es gilt:
[mm] (1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k=1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es muss gelten, dass [mm]\bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2}=\vektor{n \\ 2}+...+x^{n-2}[/mm]
Nein. Das muss nicht gelten, damit dein Beweis einen Sinn
macht. Was wirklich noch zu zeigen ist:
[mm] \vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=\mathcal O(x^2) $(x\to [/mm] 0)$ für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
denn damit folgt die Behauptung!
Jetzt musst du die Definition bemühen, die ich dir vorher
schon geschrieben habe.
[mm] g(x)=\mathcal O(x^2), $(x\to [/mm] 0)$
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] \frac{g(x)}{x^2} [/mm] ist in der Nähe von Null beschränkt!
Was heißt hier beschränkt? Schreib dir das genau auf!
Aus diesem Grund betrachten wir
[mm] \bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2}=\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+\ldots+x^{n-2} [/mm] für $|x|>0$.
Beachte, dass es hier vom großen Vorteil ist, dass man noch
einen Term dazu schreibt. Siehe unten.
> für x in einer Umgebung um 0 beliebig klein gemacht werden
> kann.
Nein. In der Nähe von Null beschränkt! Außerdem nicht $x$,
sondern? Überleg dir das mal genau.
> Also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\vektor{n \\ 2}+...+x^{n-2}=\vektor{n \\ 2}.[/mm]
Ja, aber setze Klammern, denn so macht es keinen Sinn. Es gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left(\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+\ldots+x^{n-2}\right)=\vektor{n \\ 2}.
[/mm]
Jetzt solltest du erkennen, dass es Sinn macht noch einen
Term hinzuschreiben.
> [mm]\Rightarrow \bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n}{x^2} \le \vektor{n \\ 2}[/mm]
> für alle x in einer Umgebung von 0. [mm]\Rightarrow[/mm] die
> Behauptung.
Nein. Das folgt auf keinen Fall! Noch zu zeigen war:
[mm] \vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=\mathcal O(x^2), $(x\to [/mm] 0)$ für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
denn damit folgt die ursprüngliche Behauptung! Wo hast du
das nun gezeigt? Ich will dich nicht irgendwie ärgern mit
dieser Aktion. Ganz im Gegenteil. Ich würde mich freuen,
wenn ich im ersten Semester dieses Forum schon kennen würde
und mir jemand meine Fehler aufzeigen würde. Probiere ge-
auer zu arbeiten. Auch wenn es schwer fällt wird es dir in
deinem Studium sehr helfen.
Das Ende hat dir Diophant schon genauer erklärt.
Gruß
DieAcht
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Okay, danke für die umfassende Antwort.
Zu zeigen: [mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2) [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0
Beweis:
Es gilt: [mm] (1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^2=1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] zu zeigen: [mm] 1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n=1+nx+O(x^2) [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0.
Offensichtlich ist also zu zeigen: [mm] \underbrace{\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n}_{f(x)}=O(\underbrace{x^2}_{g(x)}) [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0.
Laut Definition muss also gezeigt werden, dass [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 beschränkt ist.
[mm] \bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n}{x^2}=\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}.
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2})=\vektor{n \\ 2}.
[/mm]
Jetzt habe ich die Problematik verstanden, denn [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] ist ja die Untergrenze für positive x. Ist es denn jetzt richtig, wenn ich sage, die Beschränkung ist [mm] \vektor{n \\ 2}+1? [/mm] Oder könnte ich die Beschränkung in Abhängigkeit von n auch ausrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 So 13.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, danke für die umfassende Antwort.
>
> Zu zeigen: [mm](1+x)^n=1+nx+O(x^2)[/mm] für x [mm]\rightarrow[/mm] 0
>
> Beweis:
>
> Es gilt: [mm](1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^2=1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] zu zeigen: [mm]1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n=1+nx+O(x^2)[/mm]
> für x [mm]\rightarrow[/mm] 0.
>
> Offensichtlich ist also zu zeigen: [mm]\underbrace{\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n}_{f(x)}=O(\underbrace{x^2}_{g(x)})[/mm]
> für x [mm]\rightarrow[/mm] 0.
>
> Laut Definition muss also gezeigt werden, dass
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] für x [mm]\rightarrow[/mm] 0 beschränkt ist.
>
> [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}=\bruch{\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n}{x^2}=\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2}.[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\vektor{n \\ 2}+\vektor{n \\ 3}x+...+x^{n-2})=\vektor{n \\ 2}.[/mm]
Ja, und das zeigt, dass der Quotient f/g in einer Umgebung von 0 beschränkt ist. Genau das war zu zeigen !
FRED
>
> Jetzt habe ich die Problematik verstanden, denn [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm]
> ist ja die Untergrenze für positive x. Ist es denn jetzt
> richtig, wenn ich sage, die Beschränkung ist [mm]\vektor{n \\ 2}+1?[/mm]
> Oder könnte ich die Beschränkung in Abhängigkeit von n
> auch ausrechnen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 13.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schuricht,
Eigentlich hat Fred alles gesagt, aber vielleicht noch eine
kleine Anmerkung zu deinem Ende.
> Es gilt: [mm](1+x)^n=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^2=1+nx+\vektor{n \\ 2}x^2+\vektor{n \\ 3}x^3+...+x^n.[/mm]
Hier ist übrigens noch ein kleiner Schreibfehler drin.
> Jetzt habe ich die Problematik verstanden, denn [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm]
> ist ja die Untergrenze für positive x. Ist es denn jetzt
> richtig, wenn ich sage, die Beschränkung ist [mm]\vektor{n \\ 2}+1?[/mm]
Nein. Dazu kannst du dir sicher ein Gegenbeispiel basteln.
Die Existenz der Schranke hast du bereits "gezeigt". Um
eine Schranke "schnell" anzugeben könntest du das Archi-
medische Axiom verwenden oder den Tipp von Diophant hier
benutzen. Fulla wollte dich bereits hier in die richtige
Richtung bringen. Gemeint ist die anschauliche Bedeutung
vom Landau-Symbol.
Anschaulich bedeutet
[mm] $f\in\mathcal [/mm] O(g)$
das $f$ nicht wesentlich schneller wächst als $g$.
In deinem Fall
[mm] $f\in\mathcal O(x^2)$
[/mm]
wächst $f$ quadratisch.
Mit meiner Mitteilung hier wollte ich dich auch darauf
aufmerksam machen, denn es gilt für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] $\vektor{n \\ 2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}\le n^2$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Ich habe das jetzt schon verstanden, auch die Definition. Ich habe nur gerade Probleme dabei, vom Ausdruck:
[mm] \vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2} [/mm] das Maximum zu finden. Ich weiß, dass (für x [mm] \rightarrow [/mm] 0) gilt [mm] \vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2} [/mm] = [mm] \le \vektor{n \\ 2} \le n^2. [/mm] Folgt daraus denn jetzt auch
[mm] \vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2} \le n^2 [/mm] für [mm] x\rightarrow [/mm] 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:59 Di 15.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Schuricht,
> Ich habe das jetzt schon verstanden, auch die Definition.
> Ich habe nur gerade Probleme dabei, vom Ausdruck:
>
> [mm]\vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2}[/mm] das Maximum zu finden.
Ich verstehe in dem was du schreibt den Zusammenhang zum
Maximum nicht. Ich habe aber eine Vermutung. Diese werde
ich nun probieren zu erläutern. Falls diese falsch ist,
dann erkläre bitte was du genau damit meinst.
> Ich weiß, dass (für x [mm]\rightarrow[/mm] 0) gilt
> [mm]\vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2}[/mm] = [mm]\le \vektor{n \\ 2} \le n^2.[/mm]
Wieso steht da ein [mm] "\le" [/mm] nach dem Gleichheitszeichen?
> Folgt daraus denn jetzt auch
> [mm]\vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2} \le n^2[/mm] für [mm]x\rightarrow[/mm] 0?
Das ist doch das Selbe!
Wir haben mit
[mm] g(x):=\sum_{k=2}^{n}\vektor{n \\ k}x^{k-2}=\vektor{n \\ 2}+\vektor{n\\ 3}x+...+x^{n-2}\le \vektor{n \\ 2}, $(x\to [/mm] 0)$
gezeigt, dass $g$ in der Nähe von Null beschränkt ist.
Daraus folgt
[mm] \vektor{n \\ 2}x^2+...+x^n=\mathcal O(x^2) $(x\to [/mm] 0)$,
bzw. die Behauptung
[mm] (1+x)^n=1+nx+O(x^2), $(x\to [/mm] 0)$.
Das Berechnen des Binomialkoeffizienten bzw. die Abschätzung
[mm] $\vektor{n \\ 2}=\frac{n(n-1)}{2}\le n^2$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{\ge 2}
[/mm]
dient zur Motivation, aber sie ist i.A. keine obere Schranke.
Gegenbeispiel: Sei $x:=7$ und $n:=3$, dann gilt:
[mm] $g(7)=\vektor{3 \\ 2}+\vektor{3\\ 3}*7=3+7=10\not\le 9=3^2=n^2$.
[/mm]
Eigentlich ist die Aufgabe gelöst, aber wenn wir unbedingt
eine obere Schranke in Abhängigkeit von $n$ angeben wollen,
dann betrachten wir natürlich die Umgebung von der Null,
denn dort haben wir die Beschränktheit bewiesen. Hierzu
betrachten wir mal das Intervall $I:=[-1,1]$ und erhalten
[mm] \max_{x\in I}g(x)=\sum_{k=2}^{n}\vektor{n \\ k}=:M(n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{\ge 2} [/mm] mit [mm] $x:=1\in [/mm] I$.
Jetzt kann man sich mit dem Pascalschen Dreieck oder voll-
ständiger Induktion über [mm] n\in\IN_0 [/mm] folgendes überlegen:
[mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^n [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow M(n)=\sum_{k=2}^{n}\vektor{n \\ k}=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}-\left(\vektor{n \\ 0}+\vektor{n \\ 1}\right)=2^n-1-n [/mm] für alle [mm] n\in\IN_{\ge 2}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow g(x)\le M(n)=2^n-1-n$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] I$ und [mm] n\in\IN_{\ge 2}.
[/mm]
Das können wir auch mal testen. Dazu sei $n:=3$ und $x:=1$,
dann gilt:
[mm] $g(1)=\vektor{3 \\ 2}+\vektor{3\\ 3}*1=3+1=4\le 2^3-1-3$.
[/mm]
Übrigens kann man die obige Eigenschaft auch direkt aus
dem Binomischen Lehrsatz folgern, denn damit folgt direkt
[mm] (1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k [/mm] für alle [mm] x\in\IC [/mm] und [mm] n\in\IN_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2^n=(1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Man muss aber dabei beachten, dass diese Schranke für alle [mm] $x\in [/mm] I$
und nicht für allgemeine [mm] x\in\IR [/mm] gilt. Man kann sich natürlich
noch kleinere Schranken basteln. Dazu betrachte zum Beispiel
[mm] $H:=(-1,1)\subset [/mm] I$.
Das wird aber bestimmt nicht einfacher!
Jedenfalls erhalten wir eine mögliche Schranke mit
[mm] $g(x)\le M(n)=2^n-1-n$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] I$ und [mm] n\in\IN_{\ge 2},
[/mm]
wobei man natürlich nach oben weiter abschätzen könnte.
Das könnte man zu Beispiel tun mit
[mm] $g(x)\le M(n)<2^n=:N(n)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] I$ und [mm] n\in\IN_{\ge 2},
[/mm]
aber ich bin eigentlich kein großer Freund davon. 
Allgemein solltest du aber beachten, dass eine Schranke [mm] $\Psi$
[/mm]
folgende Eigenschaft besitzen muss:
[mm] $0<\Psi<\infty$.
[/mm]
Das ist aber bei $M$ und $N$ offensichtlich kein Problem.
Gruß
DieAcht
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