Grundeinheit,kubischer Zahlkp. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für ein [mm] $\alpha^3 [/mm] = 2$ zeigen Sie, dass [mm] $\alpha [/mm] - 1$ in dem Zahlkörper [mm] \IQ(\alpha) [/mm] eine Grundeinheit ist. |
Hallo Leute,
wir beschäftigen uns derzeit in der Vorlesung mit dem Dirichletschen Einheitensatz, weshalb wir die obige Aufgabe gestellt bekommen haben.
[mm] \alpha [/mm] ist also eine Nullstelle des Polynom $f = [mm] X^3 [/mm] - 2$ und da f eine reelle Nullstelle und zwei komplexe Nullstellen hat, ist die Einheitengruppe des Ganzheitsringes von [mm] \IQ(\alpha) [/mm] isomorph zu [mm] $\mu_k \times \IZ$, [/mm] wobei [mm] \mu_k [/mm] die Gruppe der Einheitswurzeln in [mm] k:=\IQ(\alpha) [/mm] bezeichnet.
Nun, dass [mm] $\alpha-1$ [/mm] eine Einheit ist, kann man durch die Norm nachprüfen, da die Norm von [mm] $\alpha-1$ [/mm] gleich 1 ist.
Allerdings muss ich ja noch zeigen, dass jede andere Einheit $e$ darstellbar ist in der Form $e = [mm] \zeta (\alpha-1)^n$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] geeignet und [mm] $\zeta \in \mu_k$ [/mm] und hier hab ich ehrlichgesagt keinen blassen Schimmer.
Wäre nett, wenn mir hier jemand einen geeigneten Ansatz liefern könnte 
Viele Grüße
Anfänger
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Do 17.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Anfaenger!
> Für ein [mm]\alpha^3 = 2[/mm] zeigen Sie, dass [mm]\alpha - 1[/mm] in dem
> Zahlkörper [mm]\IQ(\alpha)[/mm] eine Grundeinheit ist.
>
> wir beschäftigen uns derzeit in der Vorlesung mit dem
> Dirichletschen Einheitensatz, weshalb wir die obige Aufgabe
> gestellt bekommen haben.
>
> [mm]\alpha[/mm] ist also eine Nullstelle des Polynom [mm]f = X^3 - 2[/mm] und
> da f eine reelle Nullstelle und zwei komplexe Nullstellen
> hat, ist die Einheitengruppe des Ganzheitsringes von
> [mm]\IQ(\alpha)[/mm] isomorph zu [mm]\mu_k \times \IZ[/mm], wobei [mm]\mu_k[/mm] die
> Gruppe der Einheitswurzeln in [mm]k:=\IQ(\alpha)[/mm] bezeichnet.
Und an Einheitswurzeln gibt es nur [mm] $\pm [/mm] 1$, da es eine reelle Einbettung gibt.
> Nun, dass [mm]\alpha-1[/mm] eine Einheit ist, kann man durch die
> Norm nachprüfen, da die Norm von [mm]\alpha-1[/mm] gleich 1 ist.
Genau.
> Allerdings muss ich ja noch zeigen, dass jede andere
> Einheit [mm]e[/mm] darstellbar ist in der Form [mm]e = \zeta (\alpha-1)^n[/mm]
> mit [mm]n \in \IN[/mm] geeignet und [mm]\zeta \in \mu_k[/mm] und hier hab ich
> ehrlichgesagt keinen blassen Schimmer.
Sei [mm] $|\cdot|_1$ [/mm] der reelle Absolutbetrag und [mm] $|\cdot|_2$ [/mm] der komplexe Absolutbetrag. Dann gilt $|N(x)| = [mm] |x|_1 \cdot |x|_2^2$ [/mm] ($N(x)$ ist die Norm von $x$).
Wenn $x$ eine Einheit ist, dann gilt also [mm] $|x|_2^2 [/mm] = [mm] 1/|x|_1$. [/mm] Hieran siehst du, dass jede Einheit [mm] $\varepsilon$ [/mm] bis auf's Vorzeichen durch [mm] $|\varepsilon|_1$ [/mm] eindeutig bestimmt ist.
Damit [mm] $\alpha [/mm] - 1$ nun eine Fundamentaleinheit ist, darf es keine andere Einheit [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit $1 < [mm] |\varepsilon|_1 [/mm] < [mm] |\alpha [/mm] - [mm] 1|_1$ [/mm] geben (ich nehme mal an, dass [mm] $|\alpha [/mm] - [mm] 1|_1 [/mm] > 1$ ist; wenn es $< 1$ ist, darf es keine Einheit [mm] $\varepsilon$ [/mm] mit $1 > [mm] |\varepsilon|_1 [/mm] > [mm] |\alpha [/mm] - [mm] 1|_1$ [/mm] geben).
Fuer ein solches [mm] $\varepsilon$ [/mm] muss also $1 < [mm] |\varepsilon|_1 [/mm] < [mm] |\alpha [/mm] - [mm] 1|_1$ [/mm] und $1 > [mm] |\varepsilon|_2 [/mm] > [mm] |\alpha [/mm] - [mm] 1|_2$ [/mm] gelten. Wenn du die Geometrie der Zahlen anschaust, ist der Ganzheitsring [mm] $\mathcal{O}_{\IQ(\alpha)}$ [/mm] ja ein Gitter im [mm] $\IR^3$. [/mm] Durch die Betragsgleichungen hast du eine beschraenkte Menge, und somit liegen nur endlich viele Gitterpunkte in dieser Menge. Du koenntest alle Gitterpunkte bestimmen die in dieser Menge liegen (bzw. eine Obermenge davon) und jeweils schauen, ob du Einheiten findest.
Das ganze geht vielleicht noch einfacher, eventuell hattet ihr auch ein paar gute Beispiele dazu in der Vorlesung?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke für die ausführliche Antwort, allerdings sind mir manche Sachen noch nicht ganz klar.
Wieso weiß ich z.B. dass aus der Existenz einer reellen Einbettung schon folgt, dass die einzigen Einheitswurzeln in [mm] \IQ(\alpha) $\pm [/mm] 1$ sind?
Bei der Formel für den Betrag der Norm ist mir noch nicht ganz klar, wieso [mm] $|\sigma_1(x)|_2 [/mm] = [mm] |\sigma_2(x)|_2$ [/mm] gilt (wobei [mm] \sigma_1,\sigma_2 [/mm] die nicht-trivialen Elemente der Galoisgruppe von f bezeichne). Ich denke, dass man das bestimmt ganz leicht und elementar sehen kann, aber irgendwie komm ich gerade nicht darauf :-(
Die Idee, den Ganzheitsring als Gitter zu betrachten leuchtet mir ein, ich denke, das müsste ich schaffen
Viele Grüße
Anfänger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Fr 18.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Anfaenger,
> Wieso weiß ich z.B. dass aus der Existenz einer reellen
> Einbettung schon folgt, dass die einzigen Einheitswurzeln
> in [mm]\IQ(\alpha)[/mm] [mm]\pm 1[/mm] sind?
wenn du einen injektiven Ringhomomorphismus $f : K [mm] \to \IR$ [/mm] hast und $x [mm] \in [/mm] K$ eine $n$-te primitive Einheitswurzel ist, also multiplikative Ordnung $n$ hat, dann hat $f(x)$ ebenfalls Ordnung $n$ in [mm] $\IR$. [/mm] Die einzigen beiden Elemente in [mm] $\IR$ [/mm] mit endlicher Ordnung sind jedoch $+1$ und $-1$, womit $f(x) = -1$ (und $n = -1$) oder $f(x) = 1$ (und $n = 1$) sein muss. Da $f$ injektiv ist, muss also $x = [mm] \pm [/mm] 1$ gelten.
> Bei der Formel für den Betrag der Norm ist mir noch nicht
> ganz klar, wieso [mm]|\sigma_1(x)|_2 = |\sigma_2(x)|_2[/mm] gilt
> (wobei [mm]\sigma_1,\sigma_2[/mm] die nicht-trivialen Elemente der
> Galoisgruppe von f bezeichne).
Die Galoisgruppe brauchst du nicht, die ist eh zu gross (sie hat 6 Elemente).
Du brauchst einfach alle Einbettungen [mm] $\IQ(\alpha) \to \IC$, [/mm] und dazu reicht es aus zu wissen, auf was [mm] $\alpha$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] abgebildet werden kann. Dies sind exakt die drei Nullstellen von $f$ in [mm] $\IC$, [/mm] von denen eine reell ist und zwei komplex (und zueinander komplex konjugiert).
Gilt [mm] $\sigma_1(\alpha) \in \IR$ [/mm] und [mm] $\overline{\sigma_2(\alpha)} [/mm] = [mm] \sigma_3(\alpha) \in \IC \setminus \IR$, [/mm] so ist [mm] $\sigma_1(x) \sigma_2(x) \sigma_3(x) [/mm] = N(x)$ und somit $|N(x)| = [mm] |\sigma_1(x)| \cdot |\sigma_2(x)|^2$, [/mm] da [mm] $|\sigma_2(x)| [/mm] = [mm] |\sigma_3(x)|$ [/mm] ist fuer alle $x [mm] \in \IQ(\alpha)$.
[/mm]
> Die Idee, den Ganzheitsring als Gitter zu betrachten
> leuchtet mir ein, ich denke, das müsste ich schaffen
Mit der Gitteridee kann man uebrigens auch den Dirichletschen Einheitensatz beweisen, und um in der Praxis Einheiten in Zahlkoerpern zu berechnen geht man ebenfalls so vor (wenn auch etwas mehr sophisticated, schliesslich soll es moeglichst effizient sein und man muss es nicht von Hand machen :) ).
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
danke für die sehr hilfreiche Antwort!
Ich denke, dass ich die Aufgabe jetzt lösen kann
Noch ein schönes Wochenende und viele Grüße,
Anfänger
|
|
|
|
