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| Aufgabe | Wir betrachten Wörter der Länge n, die aus den 26 Buchstaben des Alphabets
bestehen. Wie viele
a) beliebige solche Wörter,
b) Wörter mit (auch sich wiederholenden) Buchstaben in lexikographischer
(alphabetischer) Reihenfolge,
c) Wörter ohne mehrfach vorkommende Buchstaben in lexikographischer
Reihenfolge,
d) Wörter ohne mehrfach vorkommende Buchstaben in beliebiger Reihenfolge
gibt es?
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Hallo, hat vielleicht jemand ein Tipp wieso z.B. bei der Lösung zu c (Wörter ohne mehrfach vorkommende Buchstaben in lexikographischer Reihenfolge)
die Formel für ungeordnete Elemente (siehe Nr. 3) verwendet wird obwohl doch die Buchstaben in lexikographischer Reihenfolge angeordent seien sollen?
Wie kann man sich das am besten veranschaulichen um nicht mehr bei solchen Aufgaben durcheinander zukommen?
1. geordnet ohne zurücklegen [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] <-- passt zu Aufgabentyp d
2. geordnet mit zurücklegen [mm] n^k [/mm] <-- passt zu Aufgabentyp a
3. ungeordnet ohne zurücklegen [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] <-- passt zu Aufgabentyp c.
4. ungeordnet mit zurücklegen [mm] \pmat{ n+ & k- &1 \\ k }<-- [/mm] passt zu Aufgabentyp b
Gruß Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Mo 25.01.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
da kein Buchstabe mehrfach vorkommen darf,
kann $n$ höchsten gleich $26$ sein.
Beginnen wir am Anfang:
$n=1$; jeder der $26$ Buchstaben darf vorkommen; bei $n=1$ gibt es keine Reihenfolge, der Buchstabe ist "automatisch lexikalisch geordnet", es gibt genau eine 26 Einbuchstabenwörter.
$n=2$; es gibt [mm] $26\*25$ [/mm] Buchstabenpaare, pro Paar gibt 2 Anordnungen (Stichwort "(a,b) und (b,a)"), die lexikalische Ordnung reduziert dies auf eine Anordnung ("(a,b)"), also
[mm] $\frac{26\*25}{2}$ [/mm] lexikalisch geordnete Paare.
$n=3$; es gibt [mm] $26\*25\*24$ [/mm] Buchstabentripel, pro Tripel gibt $6=3!$ Anordnungen (Stichwort "(a,b,c) ... (c,b,a)"), die lexikalische Ordnung reduziert dies auf eine Anordnung ("(a,b,c)"), also
[mm] $\frac{26\*25\*24}{3!}$ [/mm] lexikalisch geordnete Tripel.
usw.
$n=26$; es gibt [mm] $26\*25\*24\*\ldots\*1$ [/mm] Buchstabentupel, pro Tupel gibt $26!$ Anordnungen, die lexikalische Ordnung reduziert dies auf eine Anordnung, also
[mm] $\frac{26!}{26!}=1$ [/mm] lexikalisch geordnetes 26-Tupel.
Schönen Gruß
Karsten
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