Grundlegende Topo-Fragen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 Mi 10.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | -) die von der Metrik induzierte Topologie
Ein Topologie ist nach Definition metrisierbar wenn eine Metrik existiert die - die Topologie induziert. D.h. wenn ich eine beliebige Metrik habe, dann kann ich mittels der Metrik [mm] \epsilon-Kugeln [/mm] definieren: [mm] U_\epsilon [/mm] (x) [mm] :=\{ y \in M |d(x,y) < \epsilon\}. [/mm] In der Metrik d ist eine Menge W offen, wenn sie für alle x [mm] \in [/mm] W auch ihre [mm] \epsilon [/mm] Kugeln in W enthält.
Dieser Begriff der Offenheit ist dann die durch die Metrik induzierte Topologie oder?
-) Abschluss
Wir haben den ABschluss von E definiert als [mm] \overline{E}:= \bigcap_{F abgeschlossen, F \supseteq E} [/mm] F.
Theorem: bel. abgeschlossene Menge F [mm] \subseteq [/mm] X mit E [mm] \subseteq [/mm] F => [mm] \overline{E} \subseteq [/mm] F
Wenn F abgeschlossen ist und E enthält ist es ja einer der F´s von denen ich den Durchschnitt bilde: [mm] \bigcap_{F abgeschlossen, F \supseteq E} [/mm] F [mm] \subseteq [/mm] F (da der Durchschnitt natürlich kleiner ist)
Kann man das mathematisch exakter begründen? Ich kann das leider nur so"wischi-waschi" intuitiv wiedergeben. |
lg ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:00 Mi 10.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> -) die von der Metrik induzierte Topologie
> Ein Topologie ist nach Definition metrisierbar wenn eine
> Metrik existiert die - die Topologie induziert. D.h. wenn
> ich eine beliebige Metrik habe, dann kann ich mittels der
> Metrik [mm]\epsilon-Kugeln[/mm] definieren: [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm]:=\{ y \in M |d(x,y) < \epsilon\}.[/mm]
> In der Metrik d ist eine Menge W offen, wenn sie für alle
> x [mm]\in[/mm] W auch ihre [mm]\epsilon[/mm] Kugeln in W enthält.
So stimmt das nicht.
W ist offen, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] W ein [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt mit : [mm]U_\epsilon[/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] W.
> Dieser Begriff der Offenheit ist dann die durch die Metrik
> induzierte Topologie oder?
>  Abschluss
> Wir haben den ABschluss von E definiert als [mm]\overline{E}:= \bigcap_{F abgeschlossen, F \supseteq E}[/mm]
> F.
> Theorem: bel. abgeschlossene Menge F [mm]\subseteq[/mm] X mit E
> [mm]\subseteq[/mm] F => [mm]\overline{E} \subseteq[/mm] F
> Wenn F abgeschlossen ist und E enthält ist es ja einer
> der F´s von denen ich den Durchschnitt bilde: [mm]\bigcap_{F abgeschlossen, F \supseteq E}[/mm]
> F [mm]\subseteq[/mm] F (da der Durchschnitt natürlich kleiner ist)
> Kann man das mathematisch exakter begründen? Ich kann das
> leider nur so"wischi-waschi" intuitiv wiedergeben.
> lg ;)
Du meinst das richtig , drückst Dich aber sehr unglücklich aus.
Sei F abgeschlossen und E Teilmenge von F.
Sei weiter [mm] \mathcal{E}:=\{G: E \subseteq G, \quad G \quad ist \quad abgeschlossen \}. [/mm] Nach Vor. ist F [mm] \in \mathcal{E}
[/mm]
Dann ist [mm] \overline{E}=\bigcap_{G \in \mathcal{E}}^{}G.
[/mm]
Damit ist [mm] \overline{E} \subset [/mm] G für jedes G [mm] \in \mathcal{E}, [/mm] also auch [mm] \overline{E} \subset [/mm] F
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Do 11.04.2013 | | Autor: | sissile |
> Du meinst das richtig , drückst Dich aber sehr
> unglücklich aus.
>
> Sei F abgeschlossen und E Teilmenge von F.
>
>
> Sei weiter [mm]\mathcal{E}:=\{G: E \subseteq G, \quad G \quad ist \quad abgeschlossen \}.[/mm]
> Nach Vor. ist F [mm]\in \mathcal{E}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\overline{E}=\bigcap_{G \in \mathcal{E}}^{}G.[/mm]
>
> Damit ist [mm]\overline{E} \subset[/mm] G für jedes G [mm]\in \mathcal{E},[/mm]
> also auch [mm]\overline{E} \subset[/mm] F
>
> FRED
Danke, konnte denn Beweis sofort umbauen sodass ich die Maxmimalitätseigenschaft für das Innere beweisen konnte.
Danke
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