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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 12.05.2011 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | [mm] a)f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0;1] / \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \in [0;1]\cap \IQ \end{cases}
[/mm]
f ist in keinem Punkt stetig aus [0;1] !
b) [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0;1] / \IQ \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x \in [0;1] \end{cases} [/mm]
[mm] x=\bruch{p}{q} [/mm] p,q [mm] \in \IN [/mm] und p,q teilerfremd
f ist stetig für alle [mm] a\in [/mm] [0;1] / [mm] \IQ [/mm] und unstetig für alle a [mm] \in \IQ \cap [/mm] [0;1] |
Hallo,
ich steige gerade ins Thema Stetigkeit ein!(also nicht über meine Unwissenheit staunen^^)
Ich habe hier oben 2 Funktionen,welche auf Stetigkeit hin untersucht wurden.(Ergebnisse stehn dabei)
Nun ist meine Frage: Wie seh ich sowas bzw. wie berechne ich sowas??
ICH verstehe unter Stetigkeit,dass man eine Funktion zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen. Aber mit dieser Ansicht kann ich die beiden oben genannten Bsps nicht nachvollziehn....
Mag mir wer helfen des zu verstehn?
Grüße
Nerix
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Moin,
> [mm]a)f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in [0;1] / \IQ \\ 1, & \mbox{für } x \in [0;1]\cap \IQ \end{cases}[/mm]
>
> f ist in keinem Punkt stetig aus [0;1] !
> b) [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0;1] / \IQ \\ \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x \in [0;1] \end{cases}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{p}{q}[/mm] p,q [mm]\in \IN[/mm] und p,q teilerfremd
> f ist stetig für alle [mm]a\in[/mm] [0;1] / [mm]\IQ[/mm] und unstetig für
> alle a [mm]\in \IQ \cap[/mm] [0;1]
> Hallo,
>
> ich steige gerade ins Thema Stetigkeit ein!(also nicht
> über meine Unwissenheit staunen^^)
> Ich habe hier oben 2 Funktionen,welche auf Stetigkeit hin
> untersucht wurden.(Ergebnisse stehn dabei)
> Nun ist meine Frage: Wie seh ich sowas bzw. wie berechne
> ich sowas??
> ICH verstehe unter Stetigkeit,dass man eine Funktion
> zeichnen kann ohne den Stift abzusetzen. Aber mit dieser
> Ansicht kann ich die beiden oben genannten Bsps nicht
> nachvollziehn....
'Mit dem Stift durchzeichnen'. Diese beiden Beispiele sind dazu da, damit du dich von dieser Vorstellung verabschiedest.
>
> Mag mir wer helfen des zu verstehn?
zu a)
Hier kannst du dir die Unstetigkeit gut mit dem [mm] \varepsilon- \delta- [/mm] Kriterium überlegen. Denk dran: rationale und irrationale Zahlen liegen jeweils dicht ineinander.
zu b)
Hier ist dsa Folgenkriterium besser geeignet. Für die Unstetigkeitsstellen [mm] x\in\IQ\cap[0,1] [/mm] finde eine Folge [mm] x_n, [/mm] die gegen x konvergiert, deren Bildfolge [mm] f(x_n) [/mm] allerdings nicht gegen f(x) konvergiert.
Die Stetigkeit in den irrationalen Zahlen zu beweisen ist etwas schwieriger. Sei [mm] x_n\to x\in[0,1]\backslash\IQ. [/mm] Hier ist zu zeigen: [mm] f(x_n)\to [/mm] f(x)=0.
Sei also [mm] \varepsilon>0 [/mm] (fest).
So gehts weiter:
i) Die Bilder aller irrationalen Folgenglieder von [mm] x_n [/mm] sind Null. Wir interessieren uns also nur noch für rationale Folgenglieder.
ii) Sind endlich viele [mm] x_n [/mm] rational so sind wir fertig (warum?)
Wir nehmen also an, es gibt unendlich viele rationale Folgenglieder.
Fast alle davon liegen in einer [mm] \delta- [/mm] Umgebung von x, da [mm] x_n [/mm] gegen x konvergiert.
iii) Betrachte [mm] q\leq\frac{1}{\varepsilon}, q\in\IN. [/mm] Davon gibt es nur endlich viele (warum?).
Dann gibt es auch nur endlich viele rationale Zahlen in gekürzter Bruchdarstellung [mm] \frac{p}{q} [/mm] mit [mm] q\leq\frac{1}{\varepsilon}, [/mm] die in der [mm] \delta [/mm] Umgebung von x liegen (warum?).
Fast alle rationalen Zahlen [mm] \frac{p}{q} [/mm] in der [mm] \delta [/mm] Umgebung von x erfüllen folglich [mm] q>\frac{1}{\varepsilon}\gdw\frac{1}{q}<\varepsilon.
[/mm]
Damit folgt aber [mm] f(x_n)<\varepsilon [/mm] für fast alle [mm] x_n.
[/mm]
>
> Grüße
> Nerix
LG
P.S: Der Beweis ist nur ein Skizze. Ausdrücke wie 'fast alle' lassen sich selbstverständlich noch optimieren, aber ich denke so ist es klarer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Do 12.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
super,danke für die ausführliche Antwort...vieles ist im Moment noch sehr unklar für mich,aber ich werde mal versuchen des so durchzudenken nach deiner "Anleitung".....Wenn ich des die nächsten Tage geschafft hab,dann geb ich Rückmeldung^^
Danke bis dahin
Grüße
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