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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 So 09.11.2008 | | Autor: | Kleister |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Mengen:
[mm] G:=\{x\in R : 0\le x<1\} [/mm] und [mm] H:=\{x+\wurzel{2}y:x,y \in Q ,x²+y² \not=0 \}
[/mm]
Auf den Mengen G und H seien Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] R bzw. [mm] \odot [/mm] : H [mm] \times [/mm] H [mm] \to [/mm] R erklärt durch die Vorschrift
x [mm] \oplus [/mm] y:= [mm] \begin{cases} x+y, & \mbox{für } x+y<1 \\ x+y-1, & \mbox{für } x+y \ge 1 \end{cases} [/mm] und x [mm] \odot [/mm] y := xy
Zeigen Sie, dass (G, [mm] \oplus [/mm] ) und (H, [mm] \odot [/mm] ) Gruppen sind
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ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
Hallo zusammen,
obwohl die aufgabe nicht schwer zu sein scheint, stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
Wenn eine Menge eine Gruppe sein soll muss folgendes gelten:
1) Assoziativgesetz muss gelten
2) Ein Einelement soll existieren.
3) sowie ein Inverses Element
1) ist bei beiden Mengen klar ( gilt immer in R)
2.) Ist das Einselement E=0 bei G und bei H =1 ?
3.)Wenn dies stimmen würde bekomme ich für das inverse Element bei G
[mm] x^{-1}=-x [/mm] ,für x+y < 1
und [mm] x^{-1} [/mm] = 1-x ,für x+y [mm] \ge [/mm] 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Da -x aber nicht in G liegt zweifel ich diese Lösung an
Für H würde ich für das inverse Element
[mm] x^{-1}= \bruch{1}{x+\wurzel{2}y} [/mm] was aufgrund x²+y² [mm] \not=0 [/mm] möglich wäre.
Über eine antwort wäre ich sehr dankbar!
Gruß
Kleister
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In der Definition von G muss es bestimmt 0 <= |x| < 1 heißen. Dann ist das Inverse von x in G das normale -x.
Das Inverse in H bekommst du über den Ansatz:
1 = (x + [mm] \wurzel{2} [/mm] y) * (x1 + [mm] \wurzel{2} [/mm] y1)
heraus. Wenn du richtig rechnest, erhältst du
Inverses von (x + [mm] \wurzel{2} [/mm] y) = [mm] x/(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] (-y/(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}))
[/mm]
Du musst natürlich noch argumentieren, ob das in H liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 09.11.2008 | | Autor: | Kleister |
Danke für die schnelle Antwort,
jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen wie man mit dem Ansatz auf die Inverse kommt
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> Danke für die schnelle Antwort,
>
> jedoch kann ich nicht ganz nachvollziehen wie man mit dem
> Ansatz auf die Inverse kommt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du willst ja wissen, ob es zu vorgebenem (a + $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ b) ein Inverses in H gibt.
Du suchst also ein Element (x + $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ y) aus H für welches 1= (x + $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ y) * (a + $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ b) .
Um das herauszufinden, sind x und y zu berechnen, natürlich werden sie von a und b abhängen.
Multipliziere die Klammern aus und sortiere so, daß Du
1= [mm] \red{(...)*1} [/mm] + [mm] \blue{(...)}\wurzel{2} [/mm] dastehen hast.
Bedenke, daß 1= [mm] \red{1}*1 +\blue{0}*\wurzel{2} [/mm] ist und mach einen Koeffizientenvergleich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Kleister |
Vielen Dank,
ich bin jetzt schon ein ganzes Stück weiter ich habe jeodch eine andere Inverse heraus und zwar auf folgendem Weg
Also:
[mm] 1=(x+\wurzel{2}y) [/mm] * [mm] (a+\wurzel{2}b)
[/mm]
1=(ax [mm] +\wurzel{2}xb +\wurzel{2}(ay [/mm] + 2by)
1= 1*(ax+2by) + [mm] \wurzel{2}(bx+ay) [/mm] (laut hinweis von angela)
Dann Koeffizientenvergleich:
1.) ax+2by=1
und
2.) bx+ay=0
Es folgt:
[mm] x=\bruch{1-2by}{a}
[/mm]
Dies in 2.) einsetzen.
Man erhällt:
[mm] b*(\bruch{1-2by}{a})+ay=0
[/mm]
b-2b²y+a²y=0
[mm] y=\bruch{-b}{a²-2b²}
[/mm]
Durch einsetzen in 1 erhält man für x
[mm] x=\bruch{a}{a²-2b²}
[/mm]
Die inverse wäre dann folglich
[mm] (a+\wurzel{2}b)^{-1}= \bruch{a}{a²-2b²}*\wurzel{2}*\bruch{-b}{a²-2b²}
[/mm]
Diese Inverse ist aber nicht mit der von "otto euler" identisch
Habe ich einen Fehler gemacht oder übersehe ich etwas.
Liebe Grüße
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Hallo,
ich hab' beim Drübergucken nichts Verkehrtes gesehen.
Mach doch die Probe und guck', ob 1 herauskommt.
Aufpassen mußt Du, daß Du niemals durch 0 dividierst. Da sind noch ein paar Dingelchen zu untersuchen.
gruß v. Angela
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