Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ist die nachstehende Struktur eine Gruppe?
G={(a,b) [mm] \in \IR² [/mm] | a [mm] \not= [/mm] 0} mit der Verknüpfung (a,b)*(a',b') := (aa',ab'+ba') |
Assoziativität:
zu zeigen:
(a [mm] \* [/mm] b) [mm] \* [/mm] c = a [mm] \* [/mm] (b [mm] \* [/mm] c)
Könnt ihr mir sagen was ich für a und b einsetzen muss?
wäre nice :)
greez
|
|
| |
|
Für alle [mm] a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3} [/mm] ist zu zeigen, dass (bzw. ob) die folgende Gleichung eine wahre Aussage ist (Assoziativgesetz):
( [mm] (a_{1}, b_{1}) [/mm] * [mm] (a_{2}, b_{2}) [/mm] ) * [mm] (a_{3}, b_{3}) [/mm] = [mm] (a_{1}, b_{1}) [/mm] * ( [mm] (a_{2}, b_{2}) [/mm] * [mm] (a_{3}, b_{3}) [/mm] )
wobei * die von der Aufgabenstellung her gegebene Verknüpfung ist.
P.S.: Um zu zeigen, dass (G,*) eine Gruppe ist, solltest du als erstes überprüfen, ob * eine innere Verknüpfung ist. Das heißt, werden zwei Elemente aus G mit * verknüpft, ist das Zielobjekt dann auch wieder in G?
|
|
|
| |
|
also meinst du praktisch das ich den Beweis nicht durchführen brauche weil man sofort erkennen kann das es keine gruppe ist???
Komme leider mit deiner Antwort nicht ganz klar...also wenn 2 elemente aus G, also a,b müssen verknüpft wieder in der menge [mm] \IR??? [/mm] oder wie^^?
sry das ich mich vllt. n bissl blöd anstell...
|
|
|
| |
|
Hallo Jonas,
> also meinst du praktisch das ich den Beweis nicht
> durchführen brauche weil man sofort erkennen kann das es
> keine gruppe ist???
Hmm, ich erkenne hier nicht offensichtlich, dass es keine Gruppe ist?!
Also würde ich versuchen, die Gruppenaxiome nachzuweisen
> Komme leider mit deiner Antwort nicht ganz klar...also
> wenn 2 elemente aus G, also a,b müssen verknüpft wieder in
> der menge [mm]\IR???[/mm] oder wie^^?
Nein, die Verknüpfung zweier Elemente aus G muss wieder in G liegen, das ist die Abgeschlossenheit (oder Wohldefiniertheit der Verknüpfung)
Nehmen wir also zwei Elemente aus $G$ her, etwa $(a,b)$ und $(a',b')$
Dann ist nach Definition von G sowohl [mm] $a\neq [/mm] 0$ als auch [mm] $a'\neq [/mm] 0$
Schauen wir uns die Verknüfung an, was ist [mm] $(a,b)\star(a',b')$
[/mm]
Das ist $(aa',ab'+ba')$
Ist das Ding wieder in G?
Dazu müsste lt. Def. von G ja [mm] $aa'\neq [/mm] 0$ sein, aber das ist es offensichtlich, denn [mm] $a\neq [/mm] 0$ und [mm] $a'\neq 0\Rightarrow aa'\neq [/mm] 0$
Damit ist G also bzgl der Verknüpfung [mm] $\srat$ [/mm] abgeschlossen, wunderbar
Weiter geht's ...
Zur Assoziativität siehe oben
Wie ist's mit dem neutralen Element?
Gibt's solch ein [mm] $(n_1,n_2)\in [/mm] G$ mit [mm] $(a,b)\star(n_1,n_2)=(a,b)$ [/mm] für beliebiges [mm] $(a,b)\in [/mm] G$?
Bedenke, dass zwei Vektoren bzw. zwei Tupel gleich sind, wenn sie komponentenweise übereinstimmen
Löse also mal [mm] $(a,b)\star(n_1,n_2)=(an_1,an_2+bn_1)=(a,b)$
[/mm]
Wie sieht's mit dem Inversen zu [mm] $(a,b)\in [/mm] G$ aus?
So wie ich das auf die Schnelle mir angeschaut habe, ist [mm] $(G,\star)$ [/mm] sehr wohl eine Gruppe, gib also mal das neutrale Element und das Inverse zu [mm] $(a,b)\in [/mm] g$ an.
Dann wird auch klar, warum [mm] $a\neq [/mm] 0$ gefordert ist ..
> sry das ich mich vllt. n bissl blöd anstell...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Bei mir scheiterts bei der Aufgabe schon bei der Assioziativität!
((a1, b1)*(a2, b2))*(a3, b3)=(a1, b1)*((a2, b2)*(a3, b3))
(a1b1, a1b2+a2b1)*(a3, b3)=(a1, b1)*(a2b2, a2b3+a3b2)
a1b1a1b2+a1b1a2b1+a1b1b3+a3a1b2+a3a2b1
= a1b1+a1a2b3+a1a3b2+a2b2b1
allein, weil der term links vom gleichheitszeichen 5 und der andere nur 3 summanden hat
...oder hab ich hier nur humbug erzählt?
ist ja schon spät...
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Bei mir scheiterts bei der Aufgabe schon bei der
> Assioziativität!
>
> ((a1, b1)*(a2, b2))*(a3, b3)=(a1, b1)*((a2, b2)*(a3, b3))
>
> (a1b1, a1b2+a2b1)*(a3, b3)=(a1, b1)*(a2b2, a2b3+a3b2)
>
> a1b1a1b2+a1b1a2b1+a1b1b3+a3a1b2+a3a2b1
> = a1b1+a1a2b3+a1a3b2+a2b2b1
was ist denn hier passiert?
Zum einen solltest du Indizes unbedingt mit eintippen, schon der lesbarkeit wegen, mache einfach einen Unterstrich _
zB. a_1 ergibt [mm] $a_1$
[/mm]
Zum anderen bist du in den letzten beiden Zeilen doch völlig aus der Menge raus!
G ist doch eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$, [/mm] da sind nur Tupel, oder Paare $(a,b)$ drin, links und rechts des Gleichheitszeichens in deiner letzten Gleichung stehen jeweils reelle Zahlen, das ist also Murks
Der Nachweis der Assoziativität ist eigentlich auch trivial, das ist nur viel Schreibkram, halte dich stur an die Definition der Verknüpfung.
Wenn du dann nachher in den Komponenten der Tupel umformst, kannst du das nach den bekannten Rechenregeln in [mm] $\IR$ [/mm] machen, die Elemente in $G$ sind ja Tupel [mm] $(a,b)\in\IR^2$
[/mm]
Ich mache mal einen sauberen Anfang:
[mm] $((a_1,b_1)\star(a_2,b_2))\star(a_3,b_3)$
[/mm]
[mm] $=(a_1a_2,a_1b_2+b_1a_2)\star(a_3,b_3)$ [/mm] so ist ja [mm] $\star$ [/mm] definiert
[mm] $=((a_1a_2)a_3,(a_1a_2)b_3+(a_1b_2+b_1a_2)a_3)$ [/mm] wieder Def. [mm] $\star$
[/mm]
[mm] $=(a_1(a_2a_3),a_1(a_2b_3+b_2a_3)+b_1(a_2a_3))$
[/mm]
das schaue dir mal in Ruhe an, in der ersten Komponente habe ich bloß das Assoziativgesetz der normalen Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] benutzt
In der zweiten Komponente habe ich ausmultipliziert, kommutativ umsortiert und erneut ausgeklammert, alles nach den Rechneregeln in [mm] $\IR$ [/mm] !
Das letzte Biest forme nun weiter um bis du [mm] $....=(a_1,b_1)\star((a_2,b_2)\star(a_3,b_3))$ [/mm] bekommst, es ist nicht mehr weit
Du kannst ja der Einfachheit halber den Zielausdruck ganz unten hinschreiben und dich dann von unten nach oben meinem letzen Ausdruck nähern
Ein beliebter Trick, das merkt nachher niemand 
>
> allein, weil der term links vom gleichheitszeichen 5 und
> der andere nur 3 summanden hat
> ...oder hab ich hier nur humbug erzählt?
> ist ja schon spät...
Jo, das muss es sein, es läuft nämlich nach Anwendung der Def. von [mm] $\star$ [/mm] auf das ganz gewöhnliche Rechnen in [mm] $\IR$ [/mm] (in den Komponenten der Tupel) raus
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
|
|
|
|
