Gruppe F3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 05.11.2006 | | Autor: | Sandy857 |
| Aufgabe | Es gibt vier 1-dimensionale Unterräume in [mm] \IF^{2}_{3}.Durch [/mm] die Multiplikationswirkung einer
Matrix A [mm] \in [/mm] G := [mm] GL_{2}( \IF_{3}) [/mm] werden diese Unterräume permutiert.
a) Man zeige: Diese Operation induziert einen Gruppenhomomorphismus [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to S_{4}.
[/mm]
b) Man bestimme [mm] ker(\phi), im(\phi) [/mm] und die Ordnung von G.
c) Die Untergruppen H,N [mm] \le [/mm] G seien wie folgt gegeben:
N = {A [mm] \in [/mm] G | det(A) = 1, [mm] A^{2} [/mm] = [mm] ±I_{2} [/mm] },
H = { [mm] \pmat{ 1 & a \\ 0 & b } [/mm] |a, b [mm] \in \IF_{3}, [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0}
Man zeige: G = HN.
Hinweis: Verwenden Sie den ersten Isomorphiesatz. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
zu a) [mm] GL_{2}( \IF_{3}) \to S_{4}
[/mm]
[mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } \mapsto [/mm] Permutation
Allgemein muss ich also zeigen: f(x) [mm] \circ [/mm] f(y) = f(x [mm] \circ [/mm] y).
Meine Frage ist, wie bilde ich das Element von [mm] GL_{2}( \IF_{3}) [/mm] ab.
zu b) [mm] im(\phi)= S_{4}
[/mm]
[mm] ker(\phi)= [/mm] { [mm] \pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda } [/mm] | [mm] \lambda \in \IF_{3} [/mm] }
| [mm] GL_{2}( \IF_{3}) [/mm] | = 48
Stimmt das soweit?
zu c) hier habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich rangehen soll.
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Mühe und Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es gibt vier 1-dimensionale Unterräume in [mm]\IF^{2}_{3}.Durch[/mm]
> die Multiplikationswirkung einer
> Matrix A [mm]\in[/mm] G := [mm]GL_{2}( \IF_{3})[/mm] werden diese Unterräume
> permutiert.
Wieviele 1-dimensionale Unterraeume in [mm] $\IF^2_3$ [/mm] gibt es denn? Und wie werden sie durch die Matrizen permutiert? (Sprich: kann jeder auf jeden Abgebildet werden?)
> a) Man zeige: Diese Operation induziert einen
> Gruppenhomomorphismus [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to S_{4}.[/mm]
Wenn du dir das oben ueberlegt hast, solltest du eine sehr gute Idee haben, wie das hier geht.
> b) Man bestimme
> [mm]ker(\phi), im(\phi)[/mm] und die Ordnung von G.
> c) Die Untergruppen H,N [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G seien wie folgt gegeben:
> N = {A [mm]\in[/mm] G | det(A) = 1, [mm]A^{2}[/mm] = [mm]±I_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
},
> H = { [mm]\pmat{ 1 & a \\ 0 & b }[/mm] |a, b [mm]\in \IF_{3},[/mm] b [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 0}
> Man zeige: G = HN.
> Hinweis: Verwenden Sie den ersten Isomorphiesatz.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> zu a) [mm]GL_{2}( \IF_{3}) \to S_{4}[/mm]
> [mm]\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } \mapsto[/mm]
> Permutation
> Allgemein muss ich also zeigen: f(x) [mm]\circ[/mm] f(y) = f(x
> [mm]\circ[/mm] y).
> Meine Frage ist, wie bilde ich das Element von [mm]GL_{2}( \IF_{3})[/mm]
> ab.
Siehe oben.
> zu b) [mm]im(\phi)= S_{4}[/mm]
> [mm]ker(\phi)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda }[/mm]
> | [mm]\lambda \in \IF_{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Wie kannst du den Kern bestimmen, wenn du dir nichtmals ueberlegt hast, wie die Abbildung ueberhaupt aussehen soll?!
> | [mm]GL_{2}( \IF_{3})[/mm] | = 48
Das stimmt. Aber wie bist du dadrauf gekommen?
Es gilt uebrigens [mm] $|\ker(\phi)| \cdot |im(\phi)| [/mm] = |G|$ nach dem Homomorphiesatz.
> zu c) hier habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich
> rangehen soll.
Schau dir doch mal den Hinweis an. Was besagt denn der 1. Isomorphiesatz?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 05.11.2006 | | Autor: | Sandy857 |
Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antwort!!
zu a) also es gibt 4 1-dim. Unterräume.
ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
[mm] GL_{2} (F^3) [/mm] x {1-dim.UR} [mm] \to [/mm] {1-dim. UR}
( [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] , < [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] > ) [mm] \mapsto [/mm]
< [mm] \vektor{a*x+b*y \\ c*x+d*y} [/mm] >
Doch wie bilde ich damit auf S4 ab?
zu b) wie der kern und das bild aussieht wurde uns schon verraten, wenn ich die Abbildung habe muss ich noch die begründung finden.Bei dieser Teilaufgabe wollte ich eigentlich auch ersteinmal nur wissen ob die Ordnung von G korrekt ist
zu c) Der satz sagt: Seien G eine Gruppe und H,N [mm] \le [/mm] G untergruppen mit
H <= [mm] N_{G} [/mm] (N) . Dann gilt :
i) H [mm] \cap [/mm] N ist Normalteiler in H
ii) N ist Normalteiler in HN
iii) HN / N [mm] \cong [/mm] H / H [mm] \cap [/mm] N
Wissen: | HN |=48
H [mm] \cap [/mm] N = { [mm] I_{2} [/mm] }
doch was habe ich davon? eigentlich kann doch die Aufgabe gar nicht so schwer sein, doch irgendwie stehe ich auf´m schlauch....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 05.11.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antwort!!
>
> zu a) also es gibt 4 1-dim. Unterräume.
> ich habe mir jetzt folgendes überlegt:
> [mm]GL_{2} (F^3)[/mm] x {1-dim.UR} [mm]\to[/mm] {1-dim. UR}
> ( [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] , < [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] > ) [mm]\mapsto[/mm]
> < [mm]\vektor{a*x+b*y \\ c*x+d*y}[/mm] >
> Doch wie bilde ich damit auf S4 ab?
Was genau ist denn [mm] $S_4$? [/mm] Das ist doch die Gruppe der Permutationen einer vier-elementigen Menge. Als vier-elementige Menge nimm doch die Menge aller 1-dim. Unterraeume von [mm] $\IF_3^2$.
[/mm]
> zu c) Der satz sagt: Seien G eine Gruppe und H,N [mm]\le[/mm] G
> untergruppen mit
> H <= [mm]N_{G}[/mm] (N) .
Ist das denn hier erfuellt?
> Dann gilt :
> i) H [mm]\cap[/mm] N ist Normalteiler in H
> ii) N ist Normalteiler in HN
> iii) HN / N [mm]\cong[/mm] H / H [mm]\cap[/mm] N
Nach dem Satz von Lagrange ist also $|H N| / |N| = |H| / |H [mm] \cap [/mm] N|$.
> Wissen: | HN |=48
Woher weisst du das? Wenn du das schon weisst, dann bist du doch schon laengst fertig mit (c).
> H [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N = { [mm]I_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> doch was habe ich davon?
Du setzt $|N|$, $|H|$ und $|H \cap N|$ in die Gleichung ein und berechnest damit |H N|.
Und wann ist $H N = G$? Da $H N \subseteq G$ ist das doch genau dann der Fall, wenn $|H N| = |G|$ ist (da die Mengen endlich sind)!
LG Felix
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