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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Fr 04.11.2016 | | Autor: | vika |
| Aufgabe | Sei ◦: Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b − 1.
1. Zeigen Sie, dass (Z, ◦) eine Gruppe ist und geben Sie das neutrale Element an.
2. Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z, +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um einen
Gruppenisomorphismus handelt). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie löse ich das am besten?
Habe nur einige Ansätze zu 1 :
-assoziativ: seien a,b,c ∈ Z. Dann gilt:
a o (b o c) = a o (b+c - 1)
(a o b) o c = (a o b)+c - 1
-neutr. Element: 1 ∈ Z ist das neutrale Element, da gilt:
1 o a = a
a o 1 = a
-existenz inverses Elem.: sei a∈ Z. Dann gilt:
a o b = 1 und b o a = 1, also ist b das inverse Elem.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Fr 04.11.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Sei ◦: Z × Z → Z definiert durch a ◦ b = a + b −
> 1.
> 1. Zeigen Sie, dass (Z, ◦) eine Gruppe ist und geben Sie
> das neutrale Element an.
> 2. Geben Sie einen Gruppenisomorphismus (Z, ◦) → (Z,
> +) an (und rechnen Sie nach, dass es sich wirklich um
> einen
> Gruppenisomorphismus handelt).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Wie löse ich das am besten?
> Habe nur einige Ansätze zu 1 :
>
> -assoziativ: seien a,b,c ∈ Z. Dann gilt:
> a o (b o c) = a o (b+c - 1)
> (a o b) o c = (a o b)+c - 1
Das ist genau der richtige Start: rechne jetzt einfach weiter, indem Du das Symbol [mm] $\circ$ [/mm] weiter auflöst. Z.B. $a [mm] \circ [/mm] (b+c - 1)= a+(b+c-1)-1$.
Jetzt Du für den zweiten Term. Sind sie gleich? Warum?
Übrigens gehört auch die Abgeschlossenheit zu den Gruppenaxiomen. Diese ist zwar meist offensichtlich, aber Du solltest noch kurz begründen, weshalb [mm] $a\circ [/mm] b$ für alle [mm] $a,b\in \IZ$ [/mm] wieder eine ganze Zahl ist.
> -neutr. Element: 1 ∈ Z ist das neutrale Element, da
> gilt:
> 1 o a = a
> a o 1 = a
Richtig; hätte man ausführlicher machen können: Sei [mm] $a\in \IT$ [/mm] beliebig. Dann gilt [mm] $1\circ [/mm] a= 1+a-1= a$.
> -existenz inverses Elem.: sei a∈ Z. Dann gilt:
> a o b = 1 und b o a = 1, also ist b das inverse Elem.
Das ist die zu überprüfende Bedingung, aber noch kein Nachweis, dass es zu jedem $a$ ein solches $b$ gibt. Wie muss man beispielsweise $b$ wählen, wenn $a= -10$ ist?
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