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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Gruppe (IN x IN)/~
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Gruppe (IN x IN)/~: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Aufgabe
Auf [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist die Relation (a,b) ~ (c,d) :<-> a+d=b+c definiert. Auf der Menge [mm] (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] der Äquivalenzklassen definiert die Vorschrift [(a,b)]~ + [(c,d)]~ = [(a+c,b+d)]~ eine wohlldefinierte Verknüpfung, die [mm] (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] zu einer Gruppe macht.

Die Wohldefiniertheit habe ich bereits gezeigt und bin nun dabei die Gruppenaxiome zu überprüfen und möchte nun neutrales und inverses Element untersuchen:
[(0,0)]~ [mm] \in (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] ist linksneutrales Element, da
[(0,0)]~+[(a,b)]~=[(a,b)]~

Als inverses Element zu [(a,b)]~ erhalte ich dann [(-a,-b)]~, jedoch liegen -a und -b nicht in [mm] \IN. [/mm]

Hätte jemand bitte einen Tipp für mich, ich bin für jede Hilfe dankbar,

Viele Grüße


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gruppe (IN x IN)/~: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Fr 10.12.2010
Autor: Sax

Hi,

du konstruierst doch gerade die ganzen Zahlen.
-(a-b) = b-a
Also versuche es mal mit  [(b,a)]~ als Inversem zu [(a,b)]~

Gruß Sax.

Bezug
        
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Gruppe (IN x IN)/~: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt verstanden.

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Gruppe (IN x IN)/~: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] f:((\IN [/mm] x [mm] \IN) [/mm] / ~),+) [mm] \to (\IZ,+), [/mm] [(a,b)]~ [mm] \mapsto [/mm] a-b surjektiv ist.

Hi!

Mein Lösungsvorschlag ist:
Sei z [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Sei a=b+z
[mm] \rightarrow [/mm] f([(a,b)]~) =  f([(b+z,b)]~)=b+z-b=z
[mm] \rightarrow [/mm] f ist surjektiv

Ist das so mathematisch korrekt aufgeschrieben?

Vielen Dank.


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Gruppe (IN x IN)/~: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Fr 10.12.2010
Autor: Sax

Hi,

nein, das geht so nicht und zwar aus folgendem Grund :

Du suchst doch ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in \IN\times\IN, [/mm] aber wenn du a=b+z setzt, ist doch nicht garantiert, dass [mm] a\in \IN [/mm] ist. (z.B. für b=3 und z=-5)

Gruß Sax.

Bezug
        
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Gruppe (IN x IN)/~: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Mein neuer Lösungsvorschlag, um die Surjektivität zu zeigen:

Sei f([(a,b)]~)=z mit a,b [mm] \in \IN [/mm] und z [mm] \in \IZ [/mm]
1. Fall: a=b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=0=z
2. Fall: a>b [mm] \rightarrow [/mm] a-b>0
Sei x [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Sei a:= x+b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=x=z
3. Fall: a<b [mm] \rightarrow [/mm] a-b<0
Sei x [mm] \in \IZ [/mm] mit x<0 beliebig. Sei a:= x+b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=x=z

Ist das so mathematisch korrekt oder hätte jemand bitte einen Tipp für mich, wie ich die Surjektivität zeigen könnte?
DANKE


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Gruppe (IN x IN)/~: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Fr 10.12.2010
Autor: Sax

Hi,

die Idee mit einer Fallunterscheidung ist richtig, du musst aber von z ausgehen, nicht von a,b.

Surjektivität heißt doch, dass es zu jedem [mm] z\in\IZ [/mm] ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in\IN\times\IN [/mm] gibt, so dass f([(a,b)]~)=z wird.

Die Struktur des Beweises muss also folgendermaßen aussehen :

"Sei [mm] z\in\IZ [/mm] beliebig gegeben.
1. Fall :  z>0
   Dann wähle ich a = ... und b = ... und zeige f([(a,b)]~)=z (d.h. a-b=z)
2. Fall :  z ...
   Dann wähle ich ...
3. Fall : ...  "
  
Gruß Sax.

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Gruppe (IN x IN)/~: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Vielen Dank schon mal.
Ich habe nun Folgendes gemacht:
Sei z [mm] \in \IZ [/mm] beliebig.

1. Fall: z>0
Sei a:= z und b:=0
f([(a,b)]~)=z-0=z

2. Fall: z=0
Sei a:= 0 und b:=0
f([(a,b)]~)=0-0=0=z

3. Fall: z<0
Sei a:= 0 und b:=-z
f([(a,b)]~)=0-(-z)=z

[mm] \rightarrow [/mm] f ist surjektiv

Ist das so richtig?

Bezug
                                
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Gruppe (IN x IN)/~: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Fr 10.12.2010
Autor: Sax

Hi,

ja, genau so ist es richtig, vorausgesetzt, dass bei euch 0 zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird, ansonsten addierst du einfach noch 33 zu deinen a's und b's.

Gruß Sax.

Bezug
                                        
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Gruppe (IN x IN)/~: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Fr 10.12.2010
Autor: katrin10

Vielen Dank für die Hilfe.

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