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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe a [mm] \in [/mm] G . Dann gilt
[mm] a^m a^n [/mm] = [mm] a^{m+n} \forall [/mm] m,n [mm] \in \IZ
[/mm]
wobei unsere definitionen:
[mm] a^{0} [/mm] := e
[mm] a^n [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] a für n >0
[mm] a^n [/mm] = [mm] (a^{-1})^{|n|} [/mm] für n <0 |
Ich habe nur probleme beim Fall:
m<0<n nach Induktion beim induktionsanfang.
Für m=0 oder n=0, m,n>0, m,n<0 wurde es schon bewiesen
n=1 [mm] a^m [/mm] a = [mm] (a^{-1})^{|m|} [/mm] a = [mm] (a^{-1})^{|m|-1}a^{-1} [/mm] a = [mm] (a^{-1})^{|m|-1}= (a^{-1})^{-m-1} [/mm] = [mm] (a^{-1})^{-(m+1)}=a^{m+1}
[/mm]
Nun zu meiner Frage:
Die gilt der Gleichheit:
( [mm] a^{-1})^{|m|} [/mm] a = ( [mm] a^{-1})^{|m|-1} a^{-1} [/mm] a
Mir ist schon bewusst, dass dies gilt weil [mm] (a^{-1})^{-1} a^{-1}=e
[/mm]
( [mm] a^{-1})^{|m|} [/mm] a = ( [mm] a^{-1})^{|m|} (a^{-1})^{-1} a^{-1} [/mm] a
aber wieso darf ich das nun in die potenz stellen? Welche Regel rechtfertigt das, den die Potenzgesetzte beweise ich ja gerade erst?ebenfalls wird [mm] (a^m)^n =a^{mn} \forall [/mm] m,n [mm] \in \IZ [/mm] erst im nächsten lemma bewiesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mo 08.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
> Sei G eine Gruppe a [mm]\in[/mm] G . Dann gilt
> [mm]a^m a^n[/mm] = [mm]a^{m+n} \forall[/mm] m,n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> wobei unsere definitionen:
> [mm]a^{0}[/mm] := e
> [mm]a^n[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] a für n >0
> [mm]a^n[/mm] = [mm](a^{-1})^{|n|}[/mm] für n <0
> Ich habe nur probleme beim Fall:
> m<0<n nach Induktion beim induktionsanfang.
> Für m=0 oder n=0, m,n>0, m,n<0 wurde es schon bewiesen
>
> n=1 [mm]a^m[/mm] a = [mm](a^{-1})^{|m|}[/mm] a = [mm](a^{-1})^{|m|-1}a^{-1}[/mm] a =
> [mm](a^{-1})^{|m|-1}= (a^{-1})^{-m-1}[/mm] =
> [mm](a^{-1})^{-(m+1)}=a^{m+1}[/mm]
>
> Nun zu meiner Frage:
> Die gilt der Gleichheit:
> ( [mm]a^{-1})^{|m|}[/mm] a = ( [mm]a^{-1})^{|m|-1} a^{-1}[/mm] a
> Mir ist schon bewusst, dass dies gilt weil [mm](a^{-1})^{-1} a^{-1}=e[/mm]
>
> ( [mm]a^{-1})^{|m|}[/mm] a = ( [mm]a^{-1})^{|m|} (a^{-1})^{-1} a^{-1}[/mm]
> a
> aber wieso darf ich das nun in die potenz stellen? Welche
> Regel rechtfertigt das, den die Potenzgesetzte beweise ich
> ja gerade erst?ebenfalls wird [mm](a^m)^n =a^{mn} \forall[/mm] m,n
> [mm]\in \IZ[/mm] erst im nächsten lemma bewiesen.
Wenn ich richtig verstehe, kannst Du aus dem bisher von Dir Bewiesenen das zweite Gleichheitszeichen begründen, oder? (Es ist $|m|-1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $1>0$).
[mm] $\left(a^{-1}\right){}^{|m|}=\left(a^{-1}\right)^{|m|-1+1}=\left(a^{-1}\right){}^{|m|-1}\left(a^{-1}\right){}^1\;.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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