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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 28.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sie G eine gruppe und Z ihr Zentrum. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) G ist genau dann abelsch, wenn G/Z zyklisch ist.
(ii) Der Indes (G:Z) von Z in G ist keine Primzahl.
(iii) Es sei |G|=pq mit zwei Primzahlen p, q. Dann ist G abelsch oder [mm] Z=\{e\} [/mm] |
Danke fürs drüber schauen!
(i) "=>" Sei G abelsch, dann gilt $ g*h=h*g $ für alle $ g,h [mm] \in [/mm] G $
Das heisst ja genau, dass im Zentrum [mm] Z=\{z\in G \ | \ \forall g\in G:z*g=g*z \} [/mm] alle Elemente aus G liegen.
Die Linksnebenklassen sind gleich den Rechtsnebenklassen und es ist folglich Z=G.
Für [mm] G/Z=\{g*u \ | \ u \in Z\} [/mm] gilt also auch $ u [mm] \in [/mm] G $ und es gibt eine Darstellung [mm] u=g^n [/mm] und folglich ist:
[mm] G/Z=\{g*g^n \ | \ g\in G\}= [/mm] zyklisch!
"<=" Sei nun G/Z zyklisch, dann gibt es x,y [mm] \in [/mm] G/Z mit [mm] x=g^n [/mm] und [mm] y=g^m.
[/mm]
[mm] x*y=g^n*g^m=g^{n+m}=g^{m+n}=g^m*g^n=y*x
[/mm]
=> Die Linksnebenklassen sind gleich den Rechtsnebenklassen ($G/Z = [mm] Z\backslash [/mm] G$) und jedes Gruppenelement kommt darin vor. => G=Z
Da Z abelsch ist, ist damit G abelsch. [mm] \Box
[/mm]
Kann ich das so stehen lassen??
(ii) Hier habe ich zugegebenermaßen etwas gefunden, was ich nicht ganz verstehe:
Sei (G:Z) prim => G/Z zyklisch => G abelsch => G=Z => (G:Z)=1 führt zum Widerspruch, da 1 keine Primzahl ist.
Wobei ich nicht nachvollziehen kann, warum aus (G:Z) prim folgt, dass G/Z zyklisch ist. kann das jemand kurz erklären?
(iii) Hier dachte ich an die Darstellung:
[mm] |G|=\bruch{|G|}{|Z|}*|Z|
[/mm]
und diese Gleichung ist ja nur erfüllt für |Z|=1 oder |Z|=p*q, also [mm] Z=\{e\} [/mm] oder Z=G.
So auch ok?
Danke schonmal!
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> Sie G eine gruppe und Z ihr Zentrum. Beweisen Sie folgende
> Aussagen:
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> (i) G ist genau dann abelsch, wenn G/Z zyklisch ist.
>
> (ii) Der Indes (G:Z) von Z in G ist keine Primzahl.
>
> (iii) Es sei |G|=pq mit zwei Primzahlen p, q. Dann ist G
> abelsch oder [mm]Z=\{e\}[/mm]
> Danke fürs drüber schauen!
>
> (i) "=>" Sei G abelsch, dann gilt [mm]g*h=h*g[/mm] für alle [mm]g,h \in G[/mm]
>
> Das heisst ja genau, dass im Zentrum [mm]Z=\{z\in G \ | \ \forall g\in G:z*g=g*z \}[/mm]
> alle Elemente aus G liegen.
> Die Linksnebenklassen sind gleich den Rechtsnebenklassen
> und es ist folglich Z=G.
> Für [mm]G/Z=\{g*u \ | \ u \in Z\}[/mm] gilt also auch [mm]u \in G[/mm] und
> es gibt eine Darstellung [mm]u=g^n[/mm] und folglich ist:
>
> [mm]G/Z=\{g*g^n \ | \ g\in G\}=[/mm] zyklisch!
>
> "<=" Sei nun G/Z zyklisch, dann gibt es x,y [mm]\in[/mm] G/Z mit
> [mm]x=g^n[/mm] und [mm]y=g^m.[/mm]
> [mm]x*y=g^n*g^m=g^{n+m}=g^{m+n}=g^m*g^n=y*x[/mm]
>
> => Die Linksnebenklassen sind gleich den Rechtsnebenklassen
> ([mm]G/Z = Z\backslash G[/mm]) und jedes Gruppenelement kommt darin
> vor. => G=Z
>
> Da Z abelsch ist, ist damit G abelsch. [mm]\Box[/mm]
>
> Kann ich das so stehen lassen??
>
> (ii) Hier habe ich zugegebenermaßen etwas gefunden, was
> ich nicht ganz verstehe:
>
> Sei (G:Z) prim => G/Z zyklisch => G abelsch => G=Z =>
> (G:Z)=1 führt zum Widerspruch, da 1 keine Primzahl ist.
>
> Wobei ich nicht nachvollziehen kann, warum aus (G:Z) prim
> folgt, dass G/Z zyklisch ist. kann das jemand kurz
> erklären?
Aus G/Z zyklisch folgt, dass es ein Element gZ gibt, welches G/Z erzeugt. Seien [mm]x,y\in G[/mm], dann gilt [mm]x\in g^mZ[/mm] und [mm]y\in g^nZ[/mm] ([mm]m,n\in\IZ[/mm]). Also gibt es [mm]a,b\in Z[/mm] mit
[mm]x=g^ma[/mm] und [mm]y=g^nb[/mm].
Dann folgt direkt [mm]xy=yx[/mm] (einfach einsetzen und die Eigenschaft des Zentrums nutzen)
>
> (iii) Hier dachte ich an die Darstellung:
>
> [mm]|G|=\bruch{|G|}{|Z|}*|Z|[/mm]
>
> und diese Gleichung ist ja nur erfüllt für |Z|=1 oder
> |Z|=p*q, also [mm]Z=\{e\}[/mm] oder Z=G.
Mit der Bedingung aus (ii)
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> So auch ok?
>
> Danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Di 29.11.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Meine Frage bezog sich eigentlich auf den Schritt:
(G:Z) prim => G/Z zyklisch
Glaube du versuchst G/Z zyklisch => G abelsch zu erklären?!
Ist sonst alles ok?
Danke!!
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Sorry. Da habe ich die falsche Stelle erwischt.
G/Z ist eine Gruppe der Ordnung p mit p prim. Gruppen, deren Ordnung eine Primzahlen sind, sind immer zyklisch.
Das folgt auch aus LAGRANGE, denn jedes Element in G/Z muss ja die Gruppenordnung teilen. Damit kommt nur 1 oder p in Frage. Erster Fall wäre das neutrale Element und im zweite Fall erzeugt das Element mit Ordnung p ganz G/Z.
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