Gruppe der Einheiten von Z_p^n < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:29 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rinmic |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen sie, dass [mm] (Z_{p^{n}})^{*} [/mm] die Gruppe der Einheiten von [mm] \IZ_{p^{n}} [/mm] zyklisch ist. |
Hier wäre mir geholfen wenn ich genau wüsste wie der Ring überhaupt aussieht... Da der Prof. leider nicht keine Definition in der VL gegeben hat (meines Wissens).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 30.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo rinmic, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
die Definition ist aus der Notation doch leicht herzuleiten. Du weißt sicher, was [mm] \IZ_p [/mm] ist. Was würdest Du Dir dann unter [mm] \IZ_{p^3} [/mm] vorstellen?
lg
reverend
PS: Normalerweise erwarten wir hier eigene Lösungsansätze. Dass hier aber erstmal die Aufgabe zu klären ist, ist mir schon klar. Ich denke nur, dass Du schon diesen Schritt eigentlich selbst hinkriegst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 Do 31.12.2009 | | Autor: | rinmic |
Nach Definition müsste das der Restklassenring sein, also in dem fall [mm] \IZ_{3} [/mm] natürlich {0;1;2}, nur kommt ja jetzt das "hoch n" ins Spiel, wo ich überfragt bin. Zu welcher Zahl betrachte ich denn jetzt den Rest? zu allen gleichzeitig? So gesehen wäre der Ring ja gerade aus allen Elementen AUßER [mm] p^{n} [/mm] aufgebaut. Obwohl ja [mm] p^{1} [/mm] wieder in im Ring für [mm] p^{2} [/mm] enthalten wäre.
|
|
|
| |
|
Moin!
> So gesehen wäre der Ring ja gerade aus allen
> Elementen AUßER [mm]p^{n}[/mm] aufgebaut. Obwohl ja [mm]p^{1}[/mm] wieder in
> im Ring für [mm]p^{2}[/mm] enthalten wäre.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, genau - und damit auch 2p,3p,...,(p-1)p.
> Nach Definition müsste das der Restklassenring sein, also
> in dem fall [mm]\IZ_{3}[/mm] natürlich {0;1;2}, nur kommt ja jetzt
> das "hoch n" ins Spiel, wo ich überfragt bin. Zu welcher
> Zahl betrachte ich denn jetzt den Rest? zu allen
> gleichzeitig?
z.B. [mm] \IZ_{5^3}=\IZ_{125}
[/mm]
Das Problem ist, dass die Vielfachen von p nicht invertierbar sind. Ist es dann ein Ring?
Rettung bringt die Aufteilung in Vielfache von p und alle übrigen. Probiers erstmal mit [mm] \IZ_{3^2} [/mm] und dann [mm] \IZ_{3^3}, [/mm] die sind noch schön übersichtlich, und Du siehst schnell, was passiert. Auch über die Vielfachen von p sind Aussagen zu treffen.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:12 Do 31.12.2009 | | Autor: | rinmic |
Danke für die schnelle Antwort! Du meinst also, dass generell Ringe der FORM [mm] \IZ_{p^{n}} [/mm] gemeint sind, also immer ein Restklassen Ring zur potenz einer Primzahl, also p und n fest.
Nun ist bekannt, dass Ringe R mit Primordnung genau die Ideale {0} und R haben, was hieße das alle Elemente Einheiten sind (da für jedes a*b=g für [mm] a,b,g\in [/mm] R eine Lösung existiert). Ich vermute ja fast das das auch für Ringe mit Ordnung [mm] p^{n} [/mm] gilt, wobei p prim. Wäre das so, wäre der Beweis ja erledigt, da Restklassenringe er Definition zyklisch sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Do 31.12.2009 | | Autor: | reverend |
Wie ist es denn mit dem Element 10 in [mm] \IZ_{5^2} [/mm] ?
Sei a*10=3. Welches Element ist nun a?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Do 31.12.2009 | | Autor: | rinmic |
Ok, das ist ein überzeugendes Gegenbeispiel, die Einheiten sind also eindeutig nicht ALLE Elemente, ich werde deinen Rat beherzigen und mal die Vielfachen von p betrachten. (ich habe so das Gefühl das du die nicht ohne Grund genannt haben wirst :))
|
|
|
|
