Gruppe der Ordnung 180 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Gruppe [mm] G [/mm] der Ordnung [mm]180 [/mm] nicht einfach sein kann. |
Mein Lösungsweg:
Sei [mm] G [/mm] eine einfache Gruppe mit [mm] \left| G \right| = 180 [/mm].
Für [mm] P \in Syl_5 (G) [/mm] (Menge der 5-Sylowgrn. von G) ist [mm] \left| Syl_5(G) \right| = \left| G : N_G (P) \right| \in \{6, 36\} [/mm].
1.Fall:
Sei also [mm] \left| Syl_5(G) \right| = 6 [/mm]. [mm] G [/mm]operiet durch Linksmultiplikation auf der Menge der Nebenklassen [mm] G/N_G (P) [/mm]. Nach dem Satz von Cayley existiert ein Homomorphismus [mm] \varphi : G \longrightarrow Sym(6) [/mm] mit [mm]Ker \varphi \leq N_G(P) < G [/mm] und [mm] Ker \varphi \triangleleft G [/mm]. Da [mm] G [/mm] einfach ist muss gelten [mm] Ker \varphi = 1 [/mm]. Mit dem Homomorphiesatz folgt [mm] G \cong \varphi (G) \leq Sym(6) [/mm].
Falls [mm] \varphi (G) \nsubseteq Alt(6) [/mm] wäre [mm] 1 \ne \varphi (G) \cap Alt(6) \triangleleft \varphi (G) [/mm] (1. Isomorphiesatz und [mm] 720 = \left| Sym(6) \right| = \left| \varphi (G) Alt(6) \right| = \frac{\left| \varphi (G) \right| \cdot \left| Alt(6) \right|}{\left| \varphi(G) \cap Alt(6) \right|} [/mm])
Demnach ist [mm] \varphi (G) \subseteq Alt(6) [/mm]. Die Operation von [mm] Alt(6) [/mm] auf [mm] Alt(6) / \varphi (G) [/mm] liefert, wie oben, einen nichttrivialen Homomorphis [mm] \psi : Alt(6) \longrightarrow Sym(2) [/mm] mit [mm] Ker \psi = 1 [/mm], da [mm] Alt(6) [/mm] einfach und [mm] \left| Alt(6) : \varphi(G) \right| = 2 [/mm].
Dann wäre aber [mm] Alt(6) \cong \psi (Alt(6)) \leq Sym(2) [/mm] und das ist ja ein Widerspruch.
2. Fall:
[mm] \left| Syl_5(G) \right| = 36 [/mm].
Sollte ich hier damit argumentieren, dass wir [mm] 36 [/mm] sich nur in der [mm] 1 [/mm] schneidende 5-Sylowgruppen hätten?
Falls ja, wie mach ich dann weiter?
Ist der erste Fall soweit richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
chillonaut
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Sa 01.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin chillonaut
> Zeigen Sie, dass eine Gruppe [mm]G[/mm] der Ordnung [mm]180[/mm] nicht
> einfach sein kann.
>
> Mein Lösungsweg:
>
> Sei [mm]G[/mm] eine einfache Gruppe mit [mm]\left| G \right| = 180 [/mm].
>
> Für [mm]P \in Syl_5 (G)[/mm] (Menge der 5-Sylowgrn. von G) ist
> [mm]\left| Syl_5(G) \right| = \left| G : N_G (P) \right| \in \{6, 36\} [/mm].
Erstmal zur Notation: [mm] $N_G(P)$ [/mm] ist der Normalisator von $P$ in $G$, also die groesste Untergruppe von $G$ (die $P$ enthaelt), in der $P$ ein Normalteiler ist?
Wieso bleibt dir genau die Wahl zwischen 6 und 36? Es gibt ja noch mehr Teiler von 36 als nur 6 und 36. Da $G$ einfach ist kann 1 nicht drankommen, aber es gibt auch noch mehr Teiler als 1, 6, 36 
> 1.Fall:
>
> Sei also [mm]\left| Syl_5(G) \right| = 6 [/mm]. [mm]G [/mm]operiet durch
> Linksmultiplikation auf der Menge der Nebenklassen [mm]G/N_G (P) [/mm].
> Nach dem Satz von Cayley existiert ein Homomorphismus
> [mm]\varphi : G \longrightarrow Sym(6)[/mm] mit [mm]Ker \varphi \leq N_G(P) < G[/mm]
> und [mm]Ker \varphi \triangleleft G [/mm]. Da [mm]G[/mm] einfach ist muss
> gelten [mm]Ker \varphi = 1 [/mm]. Mit dem Homomorphiesatz folgt [mm]G \cong \varphi (G) \leq Sym(6) [/mm].
>
> Falls [mm]\varphi (G) \nsubseteq Alt(6)[/mm] wäre [mm]1 \ne \varphi (G) \cap Alt(6) \triangleleft \varphi (G)[/mm]
> (1. Isomorphiesatz und [mm]720 = \left| Sym(6) \right| = \left| \varphi (G) Alt(6) \right| = \frac{\left| \varphi (G) \right| \cdot \left| Alt(6) \right|}{\left| \varphi(G) \cap Alt(6) \right|} [/mm])
>
>
> Demnach ist [mm]\varphi (G) \subseteq Alt(6) [/mm]. Die Operation
> von [mm]Alt(6)[/mm] auf [mm]Alt(6) / \varphi (G)[/mm] liefert, wie oben,
> einen nichttrivialen Homomorphis [mm]\psi : Alt(6) \longrightarrow Sym(2)[/mm]
> mit [mm]Ker \psi = 1 [/mm], da [mm]Alt(6)[/mm] einfach und [mm]\left| Alt(6) : \varphi(G) \right| = 2 [/mm].
> Dann wäre aber [mm]Alt(6) \cong \psi (Alt(6)) \leq Sym(2)[/mm] und
> das ist ja ein Widerspruch.
Die Argumentation stimmt.
> 2. Fall:
>
> [mm]\left| Syl_5(G) \right| = 36 [/mm].
>
> Sollte ich hier damit argumentieren, dass wir [mm]36[/mm] sich nur
> in der [mm]1[/mm] schneidende 5-Sylowgruppen hätten?
Moeglich. Da muesste ich mehr drueber nachdenken, woran es mir grad an Zeit mangelt.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 So 02.08.2009 | | Autor: | chillonaut |
Hi Felix,
> Wieso bleibt dir genau die Wahl zwischen 6 und 36? Es gibt
> ja noch mehr Teiler von 36 als nur 6 und 36. Da [mm]G[/mm] einfach
> ist kann 1 nicht drankommen, aber es gibt auch noch mehr
> Teiler als 1, 6, 36
Soweit ich weiß, ist nach Sylow die Anzahl der 5-Sylowgruppen kongruent 1 modulo 5 und ein Teiler von 36, da würden dann meiner Meinung nach nur noch 6 und 36 übrig bleiben.
LG
chillonaut
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 So 02.08.2009 | | Autor: | PeterB |
>
> 2. Fall:
>
> [mm]\left| Syl_5(G) \right| = 36 [/mm].
>
> Sollte ich hier damit argumentieren, dass wir [mm]36[/mm] sich nur
> in der [mm]1[/mm] schneidende 5-Sylowgruppen hätten?
> Falls ja, wie mach ich dann weiter?
Hm Ich glaube du hast schon fast alles gesagt: Wenn wir 36 sich nur in der 1 schneidende 5 Sylowgruppen haben, dann haben wir also 36*4 Elemente der Ordnung 5.
Jetzt zählen wir solche 3-Sylowgruppen, die paarweise disjunkt sind (davon kann es höchstens 4 (=[35/8]) geben):
Wir starten mit einer beliebigen 3-Sylowgruppe U und konjugieren sie mit einer zyklischen Untergruppe H von G der Ordnung 5. Das ist also ein Widerspruch, falls diese verschieden und (bis auf 1) disjunkt sind.
Warum sind diese disjunkt? Betrachte [mm] $U\cap hUh^{-1}$ [/mm] mit [mm] $h\neq [/mm] 1$. Dann erzeugt $h$ die zyklische Gruppe $H$ und damit gilt: H operiert auf $U [mm] \cap hUh^{-1}$. [/mm] Da aber $|Aut(U [mm] \cap hUh^{-1})|$ [/mm] prim zu 5 ist, operiert $H$ trivial. Dann zentralisiert [mm] $U\cap hUh^{-1}$ [/mm] also $H$. Das ist aber ein Widerspruch zu 36 5-Sylowgruppen falls [mm] $U\cap hUh^{-1}$ [/mm] nicht trivial ist.
Gruß
Peter
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