Gruppe endlich erzeugt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Die additive Gruppe [mm] \IQ/\IZ [/mm] ist nicht endlich erzeugt. |
Angenommen [mm] q_1\IZ,\ldots,q_n\IZ [/mm] erzeugen [mm] \IQ/\IZ [/mm] endlich, d.h. für [mm] q\IZ\in\IQ/\IZ [/mm] gilt
[mm] q\IZ=\sum_{i=1}^nm_i*q_i\IZ, m_i\in\IZ.
[/mm]
Das kann nicht sein, weil auf der rechten Seite nur solche Elemente aus [mm] \IQ/\IZ [/mm] stehen, die beschränkten Nenner (= Hauptnenner der [mm] q_i) [/mm] als Repräsentanten haben.
Also folgt, [mm] \IQ/\IZ [/mm] ist nicht endlich erzeugt.
Stimmt das?
Gruß
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Moin,
> Die additive Gruppe [mm]\IQ/\IZ[/mm] ist nicht endlich erzeugt.
> Angenommen [mm]q_1\IZ,\ldots,q_n\IZ[/mm] erzeugen [mm]\IQ/\IZ[/mm] endlich,
> d.h. für [mm]q\IZ\in\IQ/\IZ[/mm] gilt
>
> [mm]q\IZ=\sum_{i=1}^nm_i*q_i\IZ, m_i\in\IZ.[/mm]
>
> Das kann nicht sein, weil auf der rechten Seite nur solche
> Elemente aus [mm]\IQ/\IZ[/mm] stehen, die beschränkten Nenner (=
> Hauptnenner der [mm]q_i)[/mm] als Repräsentanten haben.
>
> Also folgt, [mm]\IQ/\IZ[/mm] ist nicht endlich erzeugt.
>
> Stimmt das?
Das sieht gut aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Di 08.11.2011 | | Autor: | andreas |
hallo.
noch ein hinweis: ich würde die nebenklassen repräsentanten lieber als [mm] $q_i [/mm] + [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] schreiben, da es sich um additive gruppen handelt.
außerdem würde ich, um auf nummer sicher zu gehen, ein element $q + [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] konkret angeben, das nicht in der von den [mm] $q_i [/mm] + [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \frac{a_i}{b_i} [/mm] + [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] erzeugten untergruppe liegt, aber das ist mit deiner idee nicht weiter schwer.
grüße andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo andreas,
danke für den Hinweis.
> noch ein hinweis: ich würde die nebenklassen
> repräsentanten lieber als [mm]q_i + \mathbb{Z}[/mm] schreiben, da
> es sich um additive gruppen handelt.
> außerdem würde ich, um auf nummer sicher zu gehen, ein
> element [mm]q + \mathbb{Z}[/mm] konkret angeben, das nicht in der
> von den [mm]q_i + \mathbb{Z} = \frac{a_i}{b_i} + \mathbb{Z}[/mm]
> erzeugten untergruppe liegt, aber das ist mit deiner idee
> nicht weiter schwer.
Ja, das wäre dann zum Beispiel das Element [mm] \frac{1}{kgV(b_1,\ldots,b_n)+1}+\IZ.
[/mm]
Gruß
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