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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 07.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Hallo,
wie kann ich zeigen, dass es sich bei [mm] f((x,y)A^t) [/mm] um eine Rechtsgruppenoperation handelt? Dabei ist A [mm] \in SL_2(\IZ).
[/mm]
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 Di 07.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wie kann ich zeigen, dass es sich bei [mm]f((x,y)A^t)[/mm] um eine
> Rechtsgruppenoperation handelt? Dabei ist A [mm]\in SL_2(\IZ).[/mm]
>
> Danke schon mal!
Hmm mm, die Frage könnte man eventuell beantworten, wenn Du preisgibt, was f ist.
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 07.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Sorry, es ist [mm] f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Di 07.06.2016 | | Autor: | hippias |
Zuerst musst Du wissen, wie eine Rechtsoperation definiert ist (dass [mm] $SL_{2}(\IZ)$ [/mm] eine Gruppe ist, ist klar). Wie also lautet die Definition?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 07.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Wenn X x G [mm] \to [/mm] X, (x,g)=x.g, mit
x.(g*h)=(x.g).h für alle g,h [mm] \in [/mm] G und x [mm] \in [/mm] X
x.e=x für alle x [mm] \in [/mm] X und e [mm] \in [/mm] G neutrales Element
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 08.06.2016 | | Autor: | hippias |
So, und das rechnest Du nach! Beachte dabei, dass die Multiplikation nach Definition abgeschlossen sein muss, d.h. das Bild von $f$ unter $A$ muss in der gleichen Menge liegen, aus der $f$ kommt. Welche Menge ist das übrigens? Du solltest Dir angewöhnen die Aufgaben vollständig mitzuteilen denn dann geht alles viel einfacher.
Wenn Du willst kannst Du auch ersteinmal an einem konkreten Beispiel üben: Sei etwa $f(x,y)= [mm] x^{2}+2xy+3y^{2}$ [/mm] und $A= [mm] \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$. [/mm] Wie lauten die Koeffizienten bei [mm] $x^{2}$, [/mm] bei $xy$ und bei [mm] $y^{2}$ [/mm] von $f((x,y)A)$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 09.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
f kommt aus [mm] \IZ^2. [/mm] In Bezug auf das Bsp. bekäme ich [mm] 11x^2+16xy+6y^2.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 09.06.2016 | | Autor: | hippias |
> f kommt aus [mm]\IZ^2.[/mm]
Nein.
> In Bezug auf das Bsp. bekäme ich
> [mm]11x^2+16xy+6y^2.[/mm]
>
Ich habe das gleiche Ergebnis. Also prüfe die von Dir genannten Bedingungen für allgemeines $f= [mm] ax^2+bxy+cy^2$ [/mm] und allgemeines $A= [mm] \begin{pmatrix} \alpha& \beta\\ \gamma\ & \delta\end{pmatrix}$ [/mm] nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Gut, das neutrale Element ist ja einfach die Einheitsmatrix oder?
Und es ist ja [mm] f((x,y)A^t)=f(\alpha, \gamma)x^2+(2(a \alpha \beta [/mm] + c [mm] \gamma \delta)+b( \alpha \delta+ \beta \gamma))xy+f( \beta, \delta)y^2
[/mm]
Ist damit gezeigt, dass es sich tatsächlich um eine (Rechts-)Gruppenoperation handelt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 15.06.2016 | | Autor: | hippias |
> Gut, das neutrale Element ist ja einfach die Einheitsmatrix
> oder?
>
> Und es ist ja [mm]f((x,y)A^t)=f(\alpha, \gamma)x^2+(2(a \alpha \beta[/mm]
> + c [mm]\gamma \delta)+b( \alpha \delta+ \beta \gamma))xy+f( \beta, \delta)y^2[/mm]
>
> Ist damit gezeigt, dass es sich tatsächlich um eine
> (Rechts-)Gruppenoperation handelt?
Tja, wenn man das wüsste! Sieh mal hier; kommt Dir vielleicht bekannt vor...
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Mi 15.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Ehrlich gesagt hat mir die Antwort jetzt nicht weitergeholfen. Ich hätte gesagt ja. Und falls nicht, bräuchte ich etwas Unterstützung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Do 16.06.2016 | | Autor: | hippias |
Kein Problem! Also nocheinmal: Wie lauten nach Definition die Bedingungen für die Operation einer Gruppe auf einer Menge? Hast Du diese für Deine Menge und Deine Gruppe nachgerechnet?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 27.07.2016 | | Autor: | Trikolon |
Wenn x und y nur ganzzahlige Werte annehmen sollen, weshalb sollte f dann nicht aus [mm] \IZ^2 [/mm] kommen?
Und noch mal zum Nachweis:
Dass die Einheitsmatrix das neutrale Element ist, ist klar.
Für x(g*h) erhalte ich in unserem Fall mit g= [mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } [/mm] und [mm] h=\pmat{ d & e \\ f & g } f((\alpha [/mm] d+ [mm] \beta f)x+(\gamma [/mm] d+ [mm] \delta f)y,(\alpah [/mm] e+ [mm] \gamma [/mm] y, [mm] \beta [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y))
Und für (xg)h habe ich [mm] f(d(\alpha [/mm] x+ [mm] \gamma [/mm] y)+f( [mm] \beta [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y), e [mm] (\alpah [/mm] x+ [mm] \gamma [/mm] y)+g( [mm] \beta [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y))
Aber diese beiden Ergebnisse sind ja nicht gleich... Wo ist denn mein Fehler?
(Es war [mm] f(x,y)=ax^2+bx+cy^2)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mi 27.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Wenn x und y nur ganzzahlige Werte annehmen sollen, weshalb
> sollte f dann nicht aus [mm]\IZ^2[/mm] kommen?
Dann erinnere Dich doch bitte was $f$ ist.
> Und noch mal zum Nachweis:
> Dass die Einheitsmatrix das neutrale Element ist, ist
> klar.
> Für x(g*h) erhalte ich in unserem Fall mit g= [mm]\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }[/mm]
> und [mm]h=\pmat{ d & e \\ f & g } f((\alpha[/mm] d+ [mm]\beta f)x+(\gamma[/mm]
> d+ [mm]\delta f)y,(\alpah[/mm] e+ [mm]\gamma[/mm] y, [mm]\beta[/mm] x+ [mm]\delta[/mm] y))
> Und für (xg)h habe ich [mm]f(d(\alpha[/mm] x+ [mm]\gamma[/mm] y)+f( [mm]\beta[/mm]
> x+ [mm]\delta[/mm] y), e [mm](\alpah[/mm] x+ [mm]\gamma[/mm] y)+g( [mm]\beta[/mm] x+ [mm]\delta[/mm]
> y))
> Aber diese beiden Ergebnisse sind ja nicht gleich... Wo
> ist denn mein Fehler?
Oberflächlichkeit? Das Ergebnis von $f(gh)$ ist doch ganz unsinnig. $(fg)h$ sieht vernünftig aus, obwohl nicht fehlerfrei.
> (Es war [mm]f(x,y)=ax^2+bx+cy^2)[/mm]
Sicher?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 27.07.2016 | | Autor: | Trikolon |
Dann verrate mir doch mal, wo f herkommt?
Die genaue Definition ist nämlich f: [mm] \IZ^2 \to \IZ, f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2.
[/mm]
Wie soll denn sonst f(gh) berechnet werden? Es wäre nett, wenn du mir mal ein paar Hinweise geben könntest...
Man hat ja dann f((x,y) [mm] \pmat{ \alpha g + \beta i & \alpha h + \beta f \\ \gamma g + \delta i & \gamma h + \delta f }^T). [/mm] Falls nicht, wie soll es sonst gehen?
Beim zweiten habe ich vergessen zu transponieren, stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mi 27.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Dann verrate mir doch mal, wo f herkommt?
> Die genaue Definition ist nämlich f: [mm]\IZ^2 \to \IZ, f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2.[/mm]
Na also: $f$ kommt nicht aus [mm] $\Iz^{2}$, [/mm] sondern ist eine quadratische Form und ist damit kein Tupel ganzer Zahlen.
>
> Wie soll denn sonst f(gh) berechnet werden? Es wäre nett,
> wenn du mir mal ein paar Hinweise geben könntest...
Mach es doch einfach mal! Und zwar ohne die Hälfte zu vergessen, denn Dein Vorschlag aus dem letzten Post war ja
$ [mm] f((\alpha [/mm] d+ [mm] \beta f)x+(\gamma [/mm] d+ [mm] \delta f)y,(\alpah [/mm] e+ [mm] \gamma [/mm] y, [mm] \beta [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y))$
was man wohl kaum als ernsthaften Versuch ansehen kann, das in Frage stehende Produkt auszurechnen. Welche Tips soll man Dir da geben: wie man Matrizen multipliziert steht in Deinem Skript.
Zu Deinen ständig wechselnden Bezeichnungen r raten, das sein zu lassen, sondern bei sich auf eine festzulegen und Doppelbezeichnungn zu vermeiden, da dies zu missverständnissen führt und meist als Fehler angesehen wird.
> Man hat ja dann f((x,y) [mm]\pmat{ \alpha g + \beta i & \alpha h + \beta f \\ \gamma g + \delta i & \gamma h + \delta f }^T).[/mm]
> Falls nicht, wie soll es sonst gehen?
>
> Beim zweiten habe ich vergessen zu transponieren, stimmt.
Was mir gar nicht aufgefallen ist, aber natürlich ein weiterer und absolut vermeidbarer Grund dafür, weshalb nicht das gewünschte Resultat herauskommt.
Es ist doch so, dass es bei solch einfachen Aufgaben, bei denen nur irgendwelche Definitionen durchgegangen werden müssen, meist an Rechenfehlern scheitert. Dann muss man halt die Rechnungen nocheinmal durchgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mi 27.07.2016 | | Autor: | Trikolon |
Da haben wir dann aneinander vorbei geredet, ich dachte deine Frage zielt darauf ab, aus welcher Menge (x,y) kommt.
Dann ein neuer Versuch mit g= [mm] \pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta } [/mm] und [mm] h=\pmat{ d & e \\ f & g }. [/mm] Dann ist f(gh)=f [mm] \pmat{ \alpha d + \beta f & \gamma d+ \delta f \\ \alpha e + \beta g & \gamma e + \delta g }= [/mm] (wobei die Matrix schon transponiert wurde). Jetzt muss ich doch (x,y) mal diese Matrix rechnen, oder habe ich das falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mi 27.07.2016 | | Autor: | hippias |
> Da haben wir dann aneinander vorbei geredet, ich dachte
> deine Frage zielt darauf ab, aus welcher Menge (x,y)
> kommt.
Kein Problem.
>
> Dann ein neuer Versuch mit g= [mm]\pmat{ \alpha & \beta \\ \gamma & \delta }[/mm]
> und [mm]h=\pmat{ d & e \\ f & g }.[/mm] Dann ist f(gh)=f [mm]\pmat{ \alpha d + \beta f & \gamma d+ \delta f \\ \alpha e + \beta g & \gamma e + \delta g }=[/mm]
> (wobei die Matrix schon transponiert wurde). Jetzt muss ich
> doch (x,y) mal diese Matrix rechnen, oder habe ich das
> falsch verstanden?
Das ist alles richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 27.07.2016 | | Autor: | Trikolon |
Und wenn ich dieses Produkt ausrechne, erhalte ich
[mm] f((\alpha [/mm] d+ [mm] \beta [/mm] f)x+( [mm] \alpha [/mm] e + [mm] \beta [/mm] g)y, [mm] (\gamma [/mm] d+ [mm] \delta [/mm] f)x + [mm] (\gamma [/mm] e + [mm] \delta [/mm] g)y)
Und bei (fg)h ist ja
[mm] (fg)=f(\alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y, [mm] \gamma [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y), oder?
Und dann
[mm] f((\alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y, [mm] \gamma [/mm] x+ [mm] \delta [/mm] y) [mm] \pmat{ d & f \\ e & g }). [/mm]
= f( d( [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] y)+e( [mm] \gamma [/mm] x + [mm] \delta [/mm] y), f( [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y)+g( [mm] \gamma [/mm] x + [mm] \delta [/mm] y))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Do 28.07.2016 | | Autor: | hippias |
Alles richtig. Für den nächsten Schritt beachte, dass eine Voraussetzung noch nicht eingegangen ist: man operiert mit [mm] $SL_{2}(\IZ)$.
[/mm]
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Ok, da habe ich dann jeweils das selbe Ergebnis erhalten, also gilt
[mm] f((x,y)(gh)^T)=f(((x,y)g^T)h^T). [/mm] Damit ist doch dann alles bewiesen, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 03.08.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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