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| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe der Ordnung 105. Zeigen Sie: G ist nicht einfach. |
Hallo,
ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
Wollte die Sylowsätze anwenden, doch irgendwie helfen die mir nicht.
Also 105=3*5*7
=> Es gibt 3-Sylow,5-Sylow und 7-Sylow
Bei den 5-Sylows gilt nach dem dritten Sylowsatz:
[mm] a)n_{5} [/mm] | [mm] 21=>n_5\in\{1,3,7,21\}
[/mm]
b) [mm] n_5 \equiv1(mod [/mm] 5) [mm] =>n_5\in\{1,6,11,16,21\}
[/mm]
[mm] =>n_5\in\{1,21\}
[/mm]
Bei den 3-Sylows bekomme ich [mm] n_3\in\{1,7\}
[/mm]
Bei den 7-Sylows bekomme ich [mm] n_7\in\{1,15\}
[/mm]
Um zu zeigen, dass G nicht einfach ist, musste ich einen nicht trivialen Normalteiler finden, aber leider kann man die Anzahl nicht genauer spezifizieren mit den Sylowsätzen.
Muss man jetzt Fallunterscheidungen machen, z. B. kann man sagen, dass [mm] n_3 [/mm] 1 sein muss, weil es sonst 35 3-Sylows gäbe mit der Ordnung 3 und das kann nicht sein, da nach den Sylowsätzen auch 5 und 7-Sylows existieren müssen.
Vielen Dank für jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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moin,
> Wollte die Sylowsätze anwenden, doch irgendwie helfen die
> mir nicht.
Doch, tun sie. ;)
Du hast hier Glück, dass 105 quadratfrei ist.
> Also 105=3*5*7
> => Es gibt 3-Sylow,5-Sylow und 7-Sylow
> Bei den 5-Sylows gilt nach dem dritten Sylowsatz:
> [mm]a)n_{5}[/mm] | [mm]21=>n_5\in\{1,3,7,21\}[/mm]
> b) [mm]n_5 \equiv1(mod[/mm] 5) [mm]=>n_5\in\{1,6,11,16,21\}[/mm]
> [mm]=>n_5\in\{1,21\}[/mm]
> Bei den 3-Sylows bekomme ich [mm]n_3\in\{1,7\}[/mm]
> Bei den 7-Sylows bekomme ich [mm]n_7\in\{1,15\}[/mm]
> Um zu zeigen, dass G nicht einfach ist, musste ich einen
> nicht trivialen Normalteiler finden, aber leider kann man
> die Anzahl nicht genauer spezifizieren mit den
> Sylowsätzen.
> Muss man jetzt Fallunterscheidungen machen, z. B. kann man
> sagen, dass [mm]n_3[/mm] 1 sein muss, weil es sonst 35 3-Sylows
> gäbe mit der Ordnung 3 und das kann nicht sein, da nach
> den Sylowsätzen auch 5 und 7-Sylows existieren müssen.
35?
Meinst du 7?
Oder wie kommst du auf 35?
Nehmen wir mal an alle drei Anzahlen wären nicht 1.
Dann gibt es am Beispiel der Dreier sieben 3-Sylowuntergruppen von $G$.
Da 3 eine Primzahl ist, heißt das in jeder dieser Untergruppen gibt es 2 Elemente der Ordnung 3, insgesamt also 14 Elemente der Ordnung 3 in $G$.
Dafür müsstest du natürlich diese Behauptung noch zeigen und vor allem zeigen, dass diese 14 verschieden sind, dass also je zwei 3-SylowUG nur das neutrale Element im Schnitt haben.
Nun das gleiche Spiel mit 5 und 7, auch hier zeigen, dass alle Elemente verschieden sind und auch, dass die 3-SylowUGs und die 5-SylowUGs (bzw. 3 und 7 oder 5 und 7) auch jeweils keine gemeinsamen Elemente enthalten.
Führst du das zu Ende durch so erhältst du, dass $G$ weit mehr Elemente haben müsste als 105, also einen Widerspruch und du kannst folgern, dass mindestens eine deiner Anzahlen gleich 1 sein muss.
lg
Schadow
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