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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 02.11.2005 | | Autor: | denjo |
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hier Aufgabe 3
Zeige: Esgibt im Wesentlichen (bis auf die bezeichnung der elemente) nur eine Gruppe mit drei Elementen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es seien $e$, $a$ und $b$ die drei verschiedenen Elemente der Gruppe, hierbei $e$ das neutrale Element.
$a [mm] \circ [/mm] b=a$ würde sofort auf $b=e$ und [mm] $a\circ [/mm] b=b$ auf $a=e$ führen. Somit gilt: $a [mm] \circ [/mm] b=e$ und $b [mm] \circ [/mm] a=e$.
Damit folgt, da in jeder Zeile und Spalte der Gruppentafel alle Elemente vorkommen müssen und nach Definition $e [mm] \circ [/mm] e = e$, $a [mm] \circ [/mm] e=e [mm] \circ [/mm] a = a$ und $b [mm] \circ [/mm] e= e [mm] \circ [/mm] b = b$ gilt:
$a [mm] \circ [/mm] a=b$, $b [mm] \circ [/mm] b =a$.
Die Gruppentafel ist damit vollständig.
Liebe Grüße
Stefan
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