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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
In der Vorlesung wurde gesagt,dass Gruppen der Ordnung 4, zwei Möglichkeiten besitzen sie darzustellen. Ich habe aber nun 3 mögliche Gruppentafeln gefunden (Element nur einmal in Zeile bzw. Spalte). Kann mir bitte jemand helfen. Die exakte Frage lautet: Man bestimme(bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit 4 Elementen. Man zeige: Zu jeder natürlichen Zahl n exist. mind. eine Gruppe mit n Elementen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Philipper!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In der Vorlesung wurde gesagt,dass Gruppen der Ordnung 4,
> zwei Möglichkeiten besitzen sie darzustellen. Ich habe aber
> nun 3 mögliche Gruppentafeln gefunden (Element nur einmal
> in Zeile bzw. Spalte). Kann mir bitte jemand helfen.
Dann zeig uns bitte deine drei Gruppentafeln. Wir schauen, was du falsch gemacht hast.
> Die
> exakte Frage lautet: Man bestimme(bis auf Isomorphie) alle
> Gruppen mit 4 Elementen. Man zeige: Zu jeder natürlichen
> Zahl n exist. mind. eine Gruppe mit n Elementen.
Das ist einfach. Wähle einfach für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Gruppe der Restklassen in [mm] $\IZ$ [/mm] modulo $n$, zusammen mit der Addition, also:
$G [mm] =\IZ/n\IZ =\{\bar{0}_n,\bar{1}_n,\ldots,\overline{n-1}_n\}$,
[/mm]
wobei:
[mm] $\bar{k}_n:=\{m \in \IZ\, : \, n \, \vert\, (m-k)\}$,
[/mm]
und
[mm] $\bar{k}_n [/mm] + [mm] \bar{l}_n:= \overline{k+l}_n$.
[/mm]
Falls ihr diese Gruppen noch nicht kennt, musst du noch allerhand nachweisen. Ansonsten genügt es sie anzugeben.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:03 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
[mm] \pmat{ a & b & c & d\\ b & a & d & c\\c & d & a & b\\ d & c & b &c }
[/mm]
Das ist eine Gruppentafel. Die anderen schreibe ich nach meiner Vorlesung ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
[mm] \pmat{ a & b & c & d \\ b & c & d & a \\ c & d & a & b \\ d & a & b & c} [/mm] und
[mm] \pmat{ a & b & c & d \\ b & d & a & c \\ c & a & d & b \\ d & c & b & a} [/mm] Stimmen diese Gruppentafeln ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, wenn ich die Rollen der Elemente vertausche, kann ich zwischen der zweiten und dritten Tafel keinen fundamentalen Unterschied erkennen. Die Gruppen sind isomorph zueinander.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Danke,also nur die erste und die zweite Gruppentafel, weil die 1. zur 3.isomorph ist. Warum ist diese isomorph ? Sollte ich eigentlich wissen, aber kann es mir nicht erklären. Danke für die bsiherige Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich hatte mich zuerst vertippt und dann verbessert! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Die zweite und dritte Gruppe sind isomorph. Versuch doch den Isomorphismus selber mal anzugeben.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Phlipper |
Isomorphie ist ein bijektiver Homomorphismus. Und ein Homomorphismus hat die Eigenschaft, dass die Summe der Bild gleich Bild der Summe ist. Aber welche Abbildung nehme ich dafür ? Sorry,aber wäre echt nett, wenn du mir das erklären könntest. Ich verstee das nie,wenn man sagt, das ist isomorph zu dem, obwohl ich die Defintion eigentlich, so denke ich, verstehe.
Danke schon einmal im Voraus !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 26.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Phlipper!
Der Isomorphismus sieht hier so aus:
[mm] $\varphi(a)=a'$,
[/mm]
[mm] $\varphi(b)=c'$,
[/mm]
[mm] $\varphi(c)=d'$,
[/mm]
[mm] $\varphi(d)=b'$.
[/mm]
(Ich unterscheide die Elemente in beiden Gruppen.)
Dann ist [mm] $\varphi$ [/mm] offenbar bijektiv, und es genügt wegen [mm] $\varphi(a)=a$ [/mm] und der Kommutativität beider Gruppen die drei folgenden Gleichheiten zu zeigen:
[mm] $\varphi(bc) [/mm] = [mm] \varphi(b) \varphi(c)$,
[/mm]
[mm] $\varphi(bd) [/mm] = [mm] \varphi(b) \varphi(d)$,
[/mm]
[mm] $\varphi(cd) [/mm] = [mm] \varphi(c) \varphi(d)$,
[/mm]
um die Homomorphieeigenschaft von [mm] $\varphi$ [/mm] zu beweisen.
Das ist aber einfach. Du kannst es sofort an deinen Gruppentafeln ablesen. Ich mache es dir mal für die erste Gleichheit vor:
[mm] $\varphi(bc) [/mm] = [mm] \varphi(d) [/mm] = b' =c'd' = [mm] \varphi(b) \varphi(c)$.
[/mm]
Jetzt kannst du ja mal alle Gruppen mit $a$ als neutralem Element aufschreiben (das genügt offenbar) und schauen, welche zueinander isomoph sind.
Es werden zwei übrig bleiben, die nicht zueinander isomorph sind, nämlich Gruppe 1 und Gruppe 2 (oder 3) deiner Aufzählung.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 26.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Philipper,
Also ich skizzier jetzt mal, wie man sich herleiten koennte, dass es nur diese 2 Gruppen gibt. Gruppentafeln sind schoen und gut, aber wie will man mit ihnen zeigen, dass alle anderen Gruppen mit 4 Elementen isomorph zu einer der beiden sind?
Beachte, dass du die Gruppen Z/nZ kennen solltest, um das weitere einigermassen zu verstehen.
1. Fall: Die Gruppe G enthaelt ein Element a der Ordnung 4. Dann ist sie zyklisch, G = { [mm] a^0, [/mm] a, [mm] a^2, a^3 [/mm] }. Diese Gruppe ist isomorph zu H = (Z/4Z, +) mittels dem Isomorphismus G -> H, [mm] a^i [/mm] -> i.
2. Fall: G enthaelt kein Element der Ordung 4. Dann haben alle Elemente ausser dem neutralen Element die Ordnung 2. Die Gruppe hat dann die Form G = { e, a, b, ab } (die ist uebrigens auch abelsch: [mm] $(ab)^2 [/mm] = e = [mm] a^2b^2$). [/mm] Also ist die Abbildung (Z/2Z, +) x (Z/2Z, +) -> G, (i, j) -> [mm] a^ib^j [/mm] dein gesuchter Isomorphismus.
Liebe Gruesse,
Irrlicht
PS.: Ich hab das nicht als Antwort zu deiner letzten Frage geschrieben, weil ich glaube, dass es dir nicht viel erklaeren wird. Denn um das zu verstehen, muesstest du dich schon einigermassen mit Gruppen auskennen (nicht nur, dass man Gruppentafeln hat). Wie gesagt, deshalb ist das nur eine Mitteilung, aber wenigstens mit den Isomorphismen. 
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