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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 01.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallöchen!
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Sei (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe, und sei U eine nichtleere Teilmenge von G.
Für x, y [mm] \in [/mm] G definieren wir:
x [mm] \sim [/mm] y, falls x [mm] y^{-1} \in [/mm] U.
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] \sim [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf G.
(ii) U ist eine Untergruppe von G.
Anschaulich ist mir das klar, aber ich weiß nicht genau, wie ich es "mathematisch korrekt" formulieren soll! Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Wie soll ich da vorgehen?
Danke schön! *hihi*
Destiny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Sorry, hatte die Aufgabenstellung falsch gelesen.
Wenn die Aufgabe exakt so lautete, dann ist sie falsch gestellt.
Wenn $U$ nur als nichtleere Teilmenge vorausgesetzt wird, dann ist [mm] $\sim$ [/mm] im Allgemeinen keine Äquivalenzrelation.
Beispiel:
[mm] $(\IR\setminus\{0\}, \cdot)$ [/mm] , [mm] $U=\{2\}$.
[/mm]
Hier ist [mm] $\sim$ [/mm] etwa nicht reflexiv.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 So 05.12.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, Julius!
Die Aufgabe habe ich schon richtig eingetippt.
U ist eine nichtleere Teilmenge von G.
und [mm] \sim [/mm] ist eine Äquivalenrelation auf G.
Kannst du mir bitte helfen, die Aufgabe zu lösen? ich weiß nicht, wie sie geht? da ich ja die Äquivalenz zeigen muss, muss ich beweisen, dass aus (i) der Punkt (ii) folgt, und umgekehrt. das heißt, dass aus (ii) der Punkt (i) folgt.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Destiny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 05.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Destiny!
> Hallo, Julius!
>
> Die Aufgabe habe ich schon richtig eingetippt.
> U ist eine nichtleere Teilmenge von G.
> und [mm]\sim[/mm] ist eine Äquivalenrelation auf G.
>
> Kannst du mir bitte helfen, die Aufgabe zu lösen? ich weiß
> nicht, wie sie geht? da ich ja die Äquivalenz zeigen muss,
> muss ich beweisen, dass aus (i) der Punkt (ii) folgt, und
> umgekehrt. das heißt, dass aus (ii) der Punkt (i) folgt.
Das ist richtig.
Bitte schreibe uns doch mal die Bedingungen, die für eine Äquivalenzrelation gelten müssen und die Bedingungen, die für eine Untergruppe gelten müssen.
In (i) setzt du dann voraus, dass alle Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt sind und versuchst nun zu folgern, dass jede Bedingung für eine Untergruppe erfüllt ist.
In (ii) machst du es genau umgekehrt: Bedingungen für Untergruppe voraussetzen, und daraus dann die Bedingungen für eine Äquivalenzrelation folgern.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 05.12.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Julius!
> Wenn die Aufgabe exakt so lautete, dann ist sie falsch
> gestellt.
>
> Wenn [mm]U[/mm] nur als nichtleere Teilmenge vorausgesetzt wird,
> dann ist [mm]\sim[/mm] im Allgemeinen keine Äquivalenzrelation.
>
> Beispiel:
>
> [mm](\IR\setminus\{0\}, \cdot)[/mm] , [mm]U=\{2\}[/mm].
>
> Hier ist [mm]\sim[/mm] etwa nicht reflexiv.
Und U ist keine Untergruppe. Was ist also damit widerlegt?
Liebe Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 So 05.12.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Marc!
Ich habe die Aufgabe falsch gelesen und diesen Satz
> Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
überlesen. Von daher dachte ich, dass (i) und (ii) zu zeigen wären und nicht etwa deren Äquivalenz.
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Julius
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