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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
| Aufgabe | Es sei M = {(a,b) | a,b [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0}. Man zeige, dass M mit der verknüpfung [mm] \circ, [/mm]
(a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) := (ac,ad + b),
eine Gruppe ist. |
Wie soll man das lösen. Komme mit der Aufgabenstellung nicht klar. Kenne die Gruppeneigenschaften, weiß aber nicht wie man sie hier anwenden muss. Kann mir jemand mal den Rechenweg schicken und erklären. Vielen Dank im Vorraus. Gruß Dr.Weber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Es sei [mm]M = \{(a,b) | a,b \in \IR, a \not= 0\}[/mm]. Man zeige,
> dass M mit der verknüpfung [mm]\circ,[/mm]
>
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) := (ac,ad + b),
>
> eine Gruppe ist.
> Wie soll man das lösen. Komme mit der Aufgabenstellung
> nicht klar. Kenne die Gruppeneigenschaften, weiß aber nicht
> wie man sie hier anwenden muss. Kann mir jemand mal den
Du musst sie nicht anwenden, du musst sie nachprüfen.
> Rechenweg schicken und erklären. Vielen Dank im Vorraus.
> Gruß Dr.Weber
Der Matheraum ist keine Lösungsmaschine - man wirft hier keine Aufgaben rein und es kommt die komplette Lösung mit Erklärungen raus.
Aber widmen wir uns doch mal der Aufgabe: Du musst nachprüfen, dass [mm](M,\circ)[/mm] eine Gruppe ist.
Nehmen wir uns mal die Assoziativität raus. Du hast [mm]x,y,z \in M[/mm] und sollst nachprüfen, dass [mm](x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)[/mm] ist.
Da x,y,z aus M sind, sind sie geordnete Paare (laut Definition von M !). Seien also x=(a,b), y=(c,d) und z=(e,f). Entsprechend der Definition von M gilt also [mm]a,b,c,d,e,f \in \IR[/mm] und [mm]a,c,e \not= 0[/mm].
Und jetzt rechnest du einfach:
[mm](x \circ y) \circ z = ((a,b) \circ (c,d)) \circ (e,f) = (ac,ad + b) \circ (e,f) = ...[/mm].
[mm]x \circ (y \circ z) = (a,b) \circ ((c,d) \circ (e,f)) = (a,b) \circ (ce,cf + d) = ...[/mm].
Und wenn jetzt bei beiden Gleichungsketten dasselbe am Ende steht, dann hast du die Assotiativität nachgewiesen.
Die anderen drei Bedingungen versuchst du selber nachzuprüfen. Dazu musst du dir Gedanken machen, wie ein neutrales Element auszusehen hat.
Hier würde -ich- jetzt einfach "scharf hinsehen", denn du brauchst ja ein geordnetes Paar (c,d), so dass (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = (a,b) ist, also (ac,ad + b) = (a,b). Und das kann man meiner Meinung nach sehen.
Wenn du nicht sehen, sondern rechnen willst, dann musst du folgendes lineare Gleichungssystem lösen:
[mm] \begin{cases} ac = a \\ ad + b = b \end{cases}, [/mm] wobei du a und b als Konstanten in dem Gleichungssystem betrachten musst und c und d eben die Gesuchten sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Will es ja verstehen und net nur die Lösung. Also von daher kann von einer Lösungsmaschine nicht die Rede sein. Ich verstehe nur nicht den Zusammenhang von den Verknüpfungzeichen und den Kommas. Wie rechnet man damit. Bin da echt überfordert. z.B. habe ich keinen Plan wie ich deine Kette bei der Assoziativität vortsetzen müsste. Gruß Dr.Weber und danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Will es ja verstehen und net nur die Lösung. Also von daher
> kann von einer Lösungsmaschine nicht die Rede sein. Ich
> verstehe nur nicht den Zusammenhang von den
> Verknüpfungzeichen und den Kommas. Wie rechnet man damit.
> Bin da echt überfordert. z.B. habe ich keinen Plan wie ich
> deine Kette bei der Assoziativität vortsetzen müsste. Gruß
> Dr.Weber und danke für die Hilfe.
naja, die erste Gleichungskette wurde ja schon bis hierhin notiert:
$$(x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z = ((a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d)) [mm] \circ [/mm] (e,f) = [mm] (ac,\,ad [/mm] + b) [mm] \circ (e,f)\,.$$
[/mm]
Jetzt schau mal genau hin:
Nach Definition von [mm] $\circ$ [/mm] gilt nun:
[mm] $$(\star)\;\;\;\; (\blue{ac},\green{ad+b}) \circ (\blue{e},\green{f})=(\;(ac)e,\,(ac)f+(ad+b)\;)\,.$$
[/mm]
( Ganz ausführlich:
Setze meinetwegen [mm] $\black{r}:=ac$ [/mm] und [mm] $\black{s}:=ad+b$ [/mm] und überlege Dir, wie nach Definition von [mm] $\circ$ [/mm] dann $(r,s) [mm] \circ [/mm] (e,f)$ aussehen würde. Es gilt dann ja [mm] $(\underbrace{ac}_{=r},\underbrace{ad + b}_{=s}) \circ [/mm] (e,f)=(r,s) [mm] \circ (e,f)=(re,\,rf+s)=...$ [/mm] .)
Etwas wichtig dabei, und das scheint unterschlagen, aber überlegen sollte man es dennoch:
Es war $a,c,e [mm] \not=0$. [/mm] Wenn $a [mm] \not=0$ [/mm] und $c [mm] \not=0$, [/mm] dann ist auch [mm] $\black{r}=ac \not=0$. [/mm] Also die Rechnung in [mm] $(\star)$ [/mm] darf so gemacht werden, weil in dem Paar [mm] $(\;ac, ad+b\;)$ [/mm] auch die erste Komponente [mm] $\black{a}c$ [/mm] erfüllt, dass sie nicht $=0$ ist.
Und jetzt schau in die rechte Seite von [mm] $(\star)$ [/mm] und überlege Dir, dass man mit den Rechenregeln in [mm] $\IR$, [/mm] denn die Komponenten des Paares dort werden ja jeweils in [mm] $\IR$ [/mm] berechnet, dann (unter anderem auch gewohnt kürzer) schreiben kann:
[mm] $$(\blue{ac},\green{ad+b}) \circ (\;\blue{e},\green{f})=(\;ace,\,acf+ad+b\;)\,.$$
[/mm]
Jetzt schreibe ich die zweite Gleichungskette mal auf:
$$x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z) = (a,b) [mm] \circ [/mm] ((c,d) [mm] \circ [/mm] (e,f)) = (a,b) [mm] \circ [/mm] (ce,cf + d) [mm] =(\;a(ce),\,a(cf+d)+b\;)=(\;ace,\,a(cf+d)+b\;)\;.$$
[/mm]
Warum gilt nun $(x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z=x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z)$? Siehst Du es?
(Erinnerung: Es war $(x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ z=(ace,\,acf+ad+b\;)$ [/mm] und wir haben gerade gesehen, dass $x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ z)=(\;ace,\,a(cf+d)+b\;)$ [/mm] ist. Die ersten Komponenten sind offensichtlich gleich (strenggenommen liegt das daran, dass die Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] assoziativ ist, denn eigentlich ist die erste Komponente von $(x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z$ einfach [mm] $(\black{a}c)e$, [/mm] und die erste Komponente von $x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z)$ ist [mm] $a(\black{c}e)$, [/mm] aber in [mm] $\IR$ [/mm] gilt [mm] $(\black{a}c)e=a(ce)$ [/mm] und man schreibt daher auch [mm] $(\black{a}c)e=a(ce)=ace$...), [/mm] und die zweiten Komponenten sind auch gleich, weil...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Danke euch beiden. Sollte es verstanden haben. Muss leider jetzt weg und kann nun nicht mehr komplett weiter rechnen, aber ich melde mich morgen nochmal ob ich es gerafft habe. Auf jeden Fall vielen Dank für eure Mühe. Gruß Dr.Weber
P.s: Ach und übrigends lerne gerade auf eine Klausur und versuche die Aufgaben die ich so finde zur Übung zu lösen, also keine Angst, dass ich diese Seite für meine Hausaufgaben oder so verwenden würde. Hatte wirklich keine Ahnung wie ich es machen sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke euch beiden. Sollte es verstanden haben. Muss leider
> jetzt weg und kann nun nicht mehr komplett weiter rechnen,
> aber ich melde mich morgen nochmal ob ich es gerafft habe.
> Auf jeden Fall vielen Dank für eure Mühe. Gruß Dr.Weber
Okay 
> P.s: Ach und übrigends lerne gerade auf eine Klausur und
> versuche die Aufgaben die ich so finde zur Übung zu lösen,
> also keine Angst, dass ich diese Seite für meine
> Hausaufgaben oder so verwenden würde. Hatte wirklich keine
> Ahnung wie ich es machen sollte.
Selbst wenn Du sie dafür verwenden würdest, fände ich das nicht schlimm. Sofern es bei Deinen Hausaufgaben/Übungsaufgaben so wäre, dass Du nicht eine Komplettlösung verlangst, sondern es Dir darum ginge, dass Du irgendwo nicht weiterkommst oder Dir nur der Ansatz fehlt, wäre das in Ordnung. Sogar eine erarbeitete Komplettlösung fände ich nicht so schlimm, wenn sie so entstehen würde, dass man sieht, dass Du an der Lösung mitgewirkt hast bzw. wenigstens versucht hast, daran mitzuwirken. Wie gesagt: Es geht hier um Hilfe zur Selbsthilfe Und es ist ja auch in dem Interesse der Fragesteller, dass sie lernen, selbstständig zu arbeiten, und das kann man auch lernen, indem man erst einmal mitarbeitet. Also nur wer wenigstens versucht, mitzuarbeiten, profitiert wirklich vom MR, denn Lösungen abschreiben kann man auch bei Mitstudenten/Mitstudentinnen, oder indem man den Ü-Leiter oder den Prof. fragen geht oder wartet, bis die Lösung präsentiert wird. Und wenn Dir jemand einen schönen Kuchen hinstellt, sieht der zwar schön aus, aber Du weißt noch nicht, wie er schmeckt; da muss man erst mal kosten bzw. ihn essen. Und nur, weil Dir jemand eine Lösung "präsentiert", hast Du sie noch lange nicht verstanden. Dazu musst Du Dich halt erstmal hinsetzen und sie, wie den Kuchen, in Dich aufnehmen und verinnerlichen 
Also in diesem Sinne: Guten Appetitt
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Guten Morgen, da bin ich wieder!
So nun zu dem neutralen element. Das müsste ja dann sein
(a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) = (a,b)
so mit müsste (c,d) = (1,0) sein da ich dann erhalte
(a,b) [mm] \circ [/mm] (1,0) = (a1,a0 + b) = (a,b) oder???
Und dann das inverse:
die Formel ist (a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) = e
ist eh dann (1,1)???
Demnach wäre dann (a,b) = (1,1) und (c,d) = (1,0)
(1,1) [mm] \circ [/mm] (1,0) = (1*1,1*0 + 1) = (1,1)
Geht das so oder darf ich gar net mit Zahlen arbeiten. Das wäre jetzt so mein Ansatz. Stimmt das???
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Hallo Dr.Weber!
> So nun zu dem neutralen element. Das müsste ja dann sein
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = (a,b)
>
> so mit müsste (c,d) = (1,0) sein da ich dann erhalte
>
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (1,0) = (a1,a0 + b) = (a,b) oder???
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dann das inverse:
> die Formel ist (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = e
> ist eh dann (1,1)???
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Es muss ja gelten für das inverse Element:
[mm] $$(a,b)\circ(c,d) [/mm] \ = \ (1,0)$$
Berechne also [mm] $(a,b)\circ(c,d)$ [/mm] gemäß Definition und führe einen Koeffizientenvergleich durch mit dem neutralen Element $(1,0)_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Wie Koeffizienten vegleich.
(a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) = (ac,ad + b) und das soll aber jetzt ja wie du sagst (1,0) ergeben
Also müsste ja (a,b) = (c,d) = (1,0) sein da
(a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) = (ac,ad + b) = (1*1,1*0 + 0) = (1,0) oder???
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Hallo Dr. Weber,
> Wie Koeffizienten vegleich.
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = (ac,ad + b) und das soll aber jetzt ja
> wie du sagst (1,0) ergeben
Ja genau!
> Also müsste ja (a,b) = (c,d) = (1,0) sein da
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = (ac,ad + b) = (1*1,1*0 + 0) = (1,0)
> oder???
Du stellst ja die Überlegungen mit dem Inversen für ein beliebiges Element [mm] $(a,b)\in [/mm] M$ an, du darfst dich also nicht einschränken.
Wie du oben richtig sagst, muss gelten $(ac,ad+b)=(1,0)$
Wann sind denn 2 Tupel gleich? Doch, wenn sie in beiden Komponenten übereinstimmen, also hier:
$(1) ac=1$
$(2) ad+b=0$
Das kannst du doch nach $c$ und $d$ umstellen ...
Dann siehst du auch, dass [mm] $a\neq [/mm] 0$ eine sinnvolle Forderung für die Menge M ist
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Damit wäre also c= 1/a
und d = -b/a
also demnach (a,b) [mm] \circ [/mm] (c,d) = (ac,ad + b)= (a * 1/a, a * -b/a +b) = ich werd verrückt (1,0) Richtig.
Geil danke sieht richtig aus oder. Mmhh kann man sich das auch als allgemeinen weg jetzt so merken. Also müsste jede Aufgabe dieser Art so lösbar sein???
Gruß Dr.Weber
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Hallo nochmal,
> Damit wäre also c= 1/a
> und d = -b/a
>
> also demnach (a,b) [mm]\circ[/mm] (c,d) = (ac,ad + b)= (a * 1/a, a *
> -b/a +b) = ich werd verrückt ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") (1,0) Richtig.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Geil danke sieht richtig aus oder.
Ja, du kannst ja mal prüfen, ob denn auch [mm] $(c,d)\circ(a,b)=\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right)\circ(a,b)=(1,0)$ [/mm] ergibt, das sollte ja so sein ...
> Mmhh kann man sich das auch als allgemeinen weg jetzt so merken. Also müsste jede Aufgabe dieser Art so lösbar sein???
Puh, jede Aufgabe ist übertrieben, man muss halt schon immer gucken, was man gerade vorgesetzt bekommt.
Hier ist es halt "relativ schnell" abgehakt, weil du "nur" die Gleichheit zweier Tupel untersuchen musst, da schauste dir die Komponenten an und gut ist's.
Aber es gibt schon kompliziertere Strukturen, wo man das Inverse zu einem Element nicht so schnell "sieht" ...
> Gruß Dr.Weber
Dto.
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Di 23.09.2008 | | Autor: | Dr.Weber |
Auf jeden Fall habt ihr mir schon mal alle sehr geholfen und ich habe einiges verstanden. Danke dafür setze mich jetzt nochmal mit den einzelnen Schrittemn auseinander. Danke an alle. Gruß Dr.Weber
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