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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 29.08.2010 | | Autor: | mgh89 |
| Aufgabe | Seien F,H Untergruppen der endlichen Gruppe G und gelte
[mm] F \subseteq H ,< 1 > \ne F \ne H \ne G [/mm]. Warum enthält dann G mindestens 8 Elemente? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Lösung ?:
Eine Untergruppe hat mindestens 1 Element oder eine Verknüpfung oder ein inversen Elemente und das Nullelement, der Gruppe. [mm] \Rightarrow F:=\ {0,a\} \Rightarrow H:=\{0,a,a^{-1},b\} \Rightarrow G:=\{0,a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}[/mm]
mit a ° b = c
Stimmt das ?
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Hallo
> Seien F,H Untergruppen der endlichen Gruppe G und gelte
> [mm]F \subseteq H ,< 1 > \ne F \ne H \ne G [/mm]. Warum enthält
> dann G mindestens 8 Elemente?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt!
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> Lösung ?:
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> Eine Untergruppe hat mindestens 1 Element oder eine
> Verknüpfung oder ein inversen Elemente und das
> Nullelement, der Gruppe. [mm]\Rightarrow F:=\ {0,a\} \Rightarrow H:=\{0,a,a^{-1},b\} \Rightarrow G:=\{0,a,a^{-1},b,b^{-1},c,c^{-1}\}[/mm]
>
> mit a ° b = c
>
> Stimmt das ?
Eine Gruppe hat nicht ein 1-Element UND ein 0-Element, da sie ja nur für eine Veknüpfung ein neutrales Element braucht.
Ich würde das nicht wie oben aufschreiben, da beispielsweise [mm]a^{-1} = a[/mm] gilt, sonst wäre [mm]F[/mm] gar keine Untergruppe.. somit sind die Elemente aus [mm]H[/mm] falsch aufgeschrieben..
Jedoch brauchts du auch gar nicht die Elemente explizit hinzuschreiben:
Da [mm]<1> \neq F \neq H \neq G[/mm] folgt, dass:
[mm]|F| \ge 2[/mm]. Nehmen wir das kleinstmögliche und sagen [mm]|F| = 2[/mm]
Dann aber folgt aus [mm]F \subset H[/mm], dass [mm]|F|\mid|H|[/mm], woraus folgt, da F [mm] \neq [/mm] H, dass [mm]|H| \ge 4[/mm]. Nehmen wir auch hier erneut die kleinste Möglichkeit, also [mm]|H| = 4[/mm].
Dann müssen die Ordnungen von H und F, also 2 und 4, die Ordnung von G teilen (sind ja Untergruppen), also [mm]2 \mid |G|[/mm] und [mm]4 \mid |G|[/mm]. Und da [mm]H \neq G[/mm], kommt 4 nicht in Frage und somit ist [mm]|G| = 8[/mm] die kleinst mögliche Ordnung für $G$.
Grüsse, Amaro
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