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| Aufgabe | Seien [mm] (G,\oplus) [/mm] und [mm] (H,\odot) [/mm] zwei Gruppen und φ : G → H ein Gruppenhomomorphismus.
Das neutrale Element von G sei [mm] e_{G}, [/mm] das neutrale Element von H sei [mm] e_{H}. [/mm] Zeigen Sie:
(i) Ist U [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe, so ist φ(U) eine Untergruppe von H. Ist zusätzlich G
kommutativ, so ist auch φ(U) kommutativ (selbst wenn H nicht kommutativ ist).
(ii) Ist V [mm] \subseteq [/mm] H eine Untergruppe, so ist φ^{-1}(V ) eine Untergruppe von G. |
Hallöle =) ,
ich hoffe mir kann jemand helfen.
Ich weiß dass Gruppenhomomorphismus bedeutet: φ (x [mm] \oplus [/mm] y) = φ (x) [mm] \odot [/mm] φ (y) . Aber ich kann mit dem φ nicht wirklich was anfangen. Wofür steht das genau? Trotzdem weiß ich nicht, wie ich den Gruppenhomomorphismus dann bei den beiden Aufgaben anwenden soll. Muss ich hier auch die Eigenschaften einer Untergruppe verwenden? Ich glaube nicht oder? Weil ich ja nicht nur zeigen soll, dass das Untergruppen sind, sondern immer folgern, wenn das eine eine Untergruppe ist, dann ist auch das andere eine Untergruppe.
Naja jedenfalls habe ich absolut keinen Ansatz und keine Ahnung wie ich das zeigen könnte. Könnte mir jemand vielleicht einen Ansatz geben?
Dankeschön =)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mathemaus2010,
> Seien [mm](G,\oplus)[/mm] und [mm](H,\odot)[/mm] zwei Gruppen und φ : G →
> H ein Gruppenhomomorphismus.
> Das neutrale Element von G sei [mm]e_{G},[/mm] das neutrale Element
> von H sei [mm]e_{H}.[/mm] Zeigen Sie:
> (i) Ist U [mm]\subseteq[/mm] G eine Untergruppe, so ist φ(U) eine
> Untergruppe von H. Ist zusätzlich G
> kommutativ, so ist auch φ(U) kommutativ (selbst wenn H
> nicht kommutativ ist).
> (ii) Ist V [mm]\subseteq[/mm] H eine Untergruppe, so ist φ^{-1}(V )
> eine Untergruppe von G.
> Hallöle =) ,
>
>
> ich hoffe mir kann jemand helfen.
>
> Ich weiß dass Gruppenhomomorphismus bedeutet: φ (x [mm]\oplus[/mm]
> y) = φ (x) [mm]\odot[/mm] φ (y) . Aber ich kann mit dem φ nicht
> wirklich was anfangen. Wofür steht das genau?
Das ist nur der Name der Abbildung (des Gruppenhomomorphismus)
Du kannst das ja von mir aus auch [mm]f[/mm] nennen ...
> Trotzdem
> weiß ich nicht, wie ich den Gruppenhomomorphismus dann bei
> den beiden Aufgaben anwenden soll. Muss ich hier auch die
> Eigenschaften einer Untergruppe verwenden? Ich glaube nicht
> oder? Weil ich ja nicht nur zeigen soll, dass das
> Untergruppen sind, sondern immer folgern, wenn das eine
> eine Untergruppe ist, dann ist auch das andere eine
> Untergruppe.
Na, wie lauten denn die nachzuweisenden Eigenschaften für eine Untergruppe?
Ich mache mal eines vor ...
Wenn [mm]\varphi(U)[/mm] (oder [mm]f(U)[/mm]) eine Untergruppe sein soll, dann ist doch u.a. zu zeigen, dass für alle [mm]x,y\in\varphi(U)[/mm] gefälligst auch [mm]x\odot y^{-1}\in\varphi(U)[/mm] ist.
Nimm dir also bel. [mm]x,y\in\varphi(U)[/mm] her, dann gibt es doch [mm]a,b\in U[/mm] mit [mm]x=\varphi(a)[/mm] und [mm]y=\varphi(b)[/mm]
Dann schaue dir mal [mm]x\odot y^{-1}[/mm] an und nutze die allg. Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus aus, um zu zeigen, dass das Ding in [mm]\varphi(U)[/mm] ist.
Damit ist der schwierige Teil schon abgehakt, wenn du das vervollständigst.
Den anderen zu zeigenden Punkt für "Untegruppe" bekommst du hin ...
>
> Naja jedenfalls habe ich absolut keinen Ansatz und keine
> Ahnung wie ich das zeigen könnte. Könnte mir jemand
> vielleicht einen Ansatz geben?
>
> Dankeschön =)
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf
> anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Danke für den Ansatz =). Habe es jetzt hin bekommen. =)
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