Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Do 20.10.2005 | | Autor: | sole |
Hallo, ich soll diese Aufgabe lösen:
Sei (H,+) eine abelsche Halbgruppe.
Zeigen sie:
(i) Auf H x H ist durch
(a,b)~(a',b') [mm] \gdw [/mm] es gibt x [mm] \in [/mm] H mit a + b' + x = a' + b + x
eine Äquivalenzrelation erklärt.
(ii) Die Menge der Äquivalenzklassen [a,b] wird durch
[a,b] + [c,d] := [a+c,b+d]
zu einer Gruppe, die wir mit G bezeichnen
Ich habe den ersten Teil gelöst, aber nun versuche ich beim zweiten Teil das neutrale Element der Gruppe zu finden. Wenn ich zum Beispiel als H die natürlichen Zahlen ohne 0 nehme und versuche ein neutrales Element zu [1,1] zu finden erhalte ich:
[1,1] + [a,b] = [1+a,1+b] = [1,1] [mm] \Rightarrow [/mm] a=b=0, es gilt aber 0 [mm] \not\in [/mm] H.
Wo ist mein Denkfehler?
|
|
| |
|
Hallo Sole, dein Denkfehler ist einfacher als du denkst ( tolles Wortspiel)
denke mal genau nach ob die natürlichen Zahlen bzgl. der Addition eine Gruppe bilden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 20.10.2005 | | Autor: | sole |
Natuerlich nicht aber H soll ja auch nur eine Halbgruppe sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Do 20.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo sole!
Der Schluss
$[1+a,1+b] = [1,1] [mm] \Rightarrow [/mm] a=b=0$
ist falsch.
Es folgt nur $a=b$, d.h. $[1,1]$ ist selber bereits neutrales Element.
Beachte: $[1,1] = [a,a] = [c,c] = [a+c,a+c] = [mm] \ldots$
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 20.10.2005 | | Autor: | sole |
Alles klar, danke!
|
|
|
|
