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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Seien [mm] (G,\*,e) [/mm] und [mm] (G',\*', [/mm] e') zwei Gruppen . Sei eine Verknüpfung: [mm] (G\times G')\times(G\times [/mm] G')-> [mm] G\times [/mm] G', damit [mm] (x,x')*(y,y')=(x\*y,x'\*'y')
[/mm]
a) Zeigen sie, dass [mm] (g\times [/mm] G',*) eine Gruppe ist. Was ist das neutrale Element?
b) Zeigen Sie, dass [mm] (\produkt)_1: G\times [/mm] G'->G mit [mm] \produkt_1(g,g')=g, [/mm] ein Gruppenhomorphismus ist
c) Zeigen Sie, dass [mm] \summe_1:G-> G\times [/mm] G' mit [mm] \summe_1(g)=(g,e') [/mm] ein Gruppenhomorphismus ist.
d) Jetzt wird angenommen, dass G=G' abelsch ist, zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] : [mm] G\times [/mm] G'->G , mit [mm] \phi(g,g')=g\*g', [/mm] ein Gruppenhomorphismus ist. |
Hallo,
bei der a weiß ich zwar, dass ich zeigen muss, dass die drei Eigenschaften erfüllt, also dass es assoziativ ist, ein neutrales und inverses Element hat, aber ich weiß leider nicht wie ich es machen soll.
Das Problem liegt darin, dass ich mit dieser Schreibweise: [mm] (x,x')*(y,y')=(x\*y,x'\*'y') [/mm] nicht soviel anfangen kann.
Ok ich weiß das [mm] \* [/mm] hier als * (mal) definiert ist.
Assoziativität bedeutet ja:
a(b*c)=(ab)c
aber was ist hier a was b und was c? ich habe x,x',y und y'
Wäre über jede Hilfe dankbar!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Sa 20.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Hallo Melisa,
> Das Problem liegt darin, dass ich mit dieser Schreibweise:
> [mm](x,x')*(y,y')=(x\*y,x'\*'y')[/mm] nicht soviel anfangen kann.
Kurz zu dieser Schreibweise: Hier wird ja aus den beiden Gruppen $G$ und $G'$ die neue Menge [mm] $G\times [/mm] G'$ gebildet. Ein Elemente $g$ aus dem Produkt ist dann ein Tupel der Form $g=(x,x')$ mit $x [mm] \in [/mm] G$ und $x' [mm] \in [/mm] G'$. Auf diesen Tupeln wird nun eine Operation [mm] "$\cdot$" [/mm] definiert, wie du es beschrieben hast, also indem die Elemente aus $G$ mit $*$ und die Elemente aus $G'$ mit $*'$ verknüpft werden, die jeweiligen Ergebnisse bilden dann ein neues Tupel aus [mm] $G\times [/mm] G'$.
> Ok ich weiß das [mm]\*[/mm] hier als * (mal) definiert ist.
>
> Assoziativität bedeutet ja:
>
> a(b*c)=(ab)c
>
> aber was ist hier a was b und was c? ich habe x,x',y und
> y'
Um z.B. Assoziativität zu zeigen, nimmst du einfach drei Elemente $a,b,c$ aus [mm] $G\times [/mm] G'$. Die haben dann die Form
$a=(x,x')$,
$b=(y,y')$,
$c=(z,z')$.
Nun betrachtest du den Ausdruck $a [mm] \cdot [/mm] (b [mm] \cdot [/mm] c)$ und kannst hier die Definition von [mm] $\cdot$ [/mm] einsetzen und die Assoziativität auf die Assoziativität von $G$ und $G'$ in den Komponenten zurückführen.
Hilft dir das ein wenig weiter?
Gruß,
Alex
PS: Meinst du in Aufgabe d) dieses Zeichen: [mm] $\phi$? [/mm] Falls ja: es ist ein phi (sprich: "fi") und wird z.B. mit dem Befehl "\ phi" (ohne Leerzeichen) geschrieben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo alex,
danke erstmal für deine ausführliche Erklärung!
>
>
> Um z.B. Assoziativität zu zeigen, nimmst du einfach drei
> Elemente [mm]a,b,c[/mm] aus [mm]G\times G'[/mm]. Die haben dann die Form
> [mm]a=(x,x')[/mm],
> [mm]b=(y,y')[/mm],
> [mm]c=(z,z')[/mm].
> Nun betrachtest du den Ausdruck [mm]a \cdot (b \cdot c)[/mm] und
> kannst hier die Definition von [mm]\cdot[/mm] einsetzen und die
> Assoziativität auf die Assoziativität von [mm]G[/mm] und [mm]G'[/mm] in den
> Komponenten zurückführen.
>
Ist die Assoziativität dann so gezeigt:
a(bc)=a(y*z,y'*z')=(x*y*z,x'*y '*z')=(x*y,x'*y')*c=(ab)c
???
> PS: Meinst du in Aufgabe d) dieses Zeichen: [mm]\phi[/mm]? Falls ja:
> es ist ein phi (sprich: "fi") und wird z.B. mit dem Befehl
> "\ phi" (ohne Leerzeichen) geschrieben.
Ja das meinte ich danke 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | alex42 |
> Ist die Assoziativität dann so gezeigt:
>
> a(bc)=a(y*z,y'*z')=(x*y*z,x'*y '*z')=(x*y,x'*y')*c=(ab)c
>
> ???
Jep, genau so hätte ich es gemacht. Wenn du alles formal ganz sauber machen willst, kannst du in den Komponenten noch die Klammern setzen und verschieben, um deutlich zu machen, wo die Assoziativität der Gruppen einfließt, aber muss aus meiner Sicht nicht unbedingt sein.
Die anderen Eigenschaften einer Gruppe kannst du dann analog zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
beim neutralen und inversen Element habe ich noch schwierigkeiten :-S
Zum neutralen Element habe ich mir überlegt:
a=(x,x') b=(y,y')
(x,x')*(e,e')=(x*e,x'*e)=(x,x') da x*e=x und x'*e=x'
analog zu (y,y')
daraus folgt, dass das neutrale element 1 sein muss.
Ich glaube jedoch, dass das nicht ganz richtig ist was ich gemacht habe oder?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
>
> beim neutralen und inversen Element habe ich noch
> schwierigkeiten :-S
>
> Zum neutralen Element habe ich mir überlegt:
>
> a=(x,x') b=(y,y')
>
> (x,x')*(e,e')=(x*e,x'*e)=(x,x') da x*e=x und x'*e=x'
>
> analog zu (y,y')
>
> daraus folgt, dass das neutrale element 1 sein muss.
>
> Ich glaube jedoch, dass das nicht ganz richtig ist was ich
> gemacht habe oder?
Doch, stimmt vollkommen. Es reicht allerdings $(x,x')*(e,e')=(x,x')$ zu zeigen, musst das nicht nochmal für $(y,y')$ zeigen. $(x,x')$ ist ja bereits ein vollkommen beliebiges Element aus $G [mm] \times [/mm] G'$
Für die Existenz des Inversen zu einm Element $(x,x')$ hilft es sich zu überlegen, dass, da G und G' Gruppen sind und $x [mm] \in [/mm] G$ und $x' [mm] \in [/mm] G'$, sowohl x als auch x' ein inverses Elemente in G bzw. G' hat.
Kommst du damit weiter?
Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Lippel,
danke erstmal für deine Hilfe.
> Für die Existenz des
> Inversen zu einm Element [mm](x,x')[/mm] hilft es sich zu
> überlegen, dass, da G und G' Gruppen sind und [mm]x \in G[/mm] und
> [mm]x' \in G'[/mm], sowohl x als auch x' ein inverses Elemente in G
> bzw. G' hat.
> Kommst du damit weiter?
Ja, damit ist ja schon gesagt, dass es ein Inverses haben muss.
D.h. ich kann sagen:
a=(x,x')
[mm] (\forall [/mm] x,x' [mm] \in [/mm] G, G') ( [mm] \exists b,b'\in [/mm] G,G') x*b=e und x'*b'=e'
Ich bin mir nur nicht sicher, ob das formel in Ordnung ist.
Lg Melisa
> Grüße, Lippel
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 20.11.2010 | | Autor: | alex42 |
> Ja, damit ist ja schon gesagt, dass es ein Inverses haben
> muss.
> D.h. ich kann sagen:
>
> a=(x,x')
>
> [mm](\forall[/mm] x,x' [mm]\in[/mm] G, G') ( [mm]\exists b,b'\in[/mm] G,G') x*b=e und
> x'*b'=e'
>
>
> Ich bin mir nur nicht sicher, ob das formel in Ordnung
> ist.
Um die Argumentation ganz formal abzuschließen solltest du vielleicht noch nachrechnen, dass du mit deiner Wahl genau bei deinem vorher angegebenen neutralen Element von $G [mm] \times [/mm] G'$ landest. Also dass du [mm] $a^{-1} \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G'$ finden kannst, sodass $a [mm] \cdot a^{-1} [/mm] = (e,e')$. Du hast es zwar im Prinzip schon stehen, mit der Schreibweise der Tupel wird es aber denke ich formal sauberer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Sa 20.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
ok das ergänze ich dann noch! Vielen dank für eure Hilfe. Denn rest mach ich dann erst morgen, weil ich das mit dem Homomorphismus noch nicht ganz verstanden habe.
Nochmal danke!
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 So 21.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Guten Morgen :)
ich verzweifle schon seit gestern abend an der Aufgabe b)
Was ein Gruppenhomomorphismus ist, weiß ich:
Gruppenhomomoprhismus falls gilt:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] G f(x*y)=f(x)*f(y)
In Worten:
Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.
Aber ich kann mit dem Teil:
[mm] (\produkt)_1: G\times [/mm] G'->G mit [mm] \produkt_1(g,g')=g
[/mm]
Kann mir jemand vlt mit anderen Worten erklären, was ich hier zeigen soll?
danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 21.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Hallo Melisa,
> Gruppenhomomoprhismus falls gilt:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] G f(x*y)=f(x)*f(y)
>
> In Worten:
> Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das
> Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet,
> und dann die Bilder verknüpft.
>
> Aber ich kann mit dem Teil:
>
> [mm](\produkt)_1: G\times[/mm] G'->G mit [mm]\produkt_1(g,g')=g[/mm]
>
> Kann mir jemand vlt mit anderen Worten erklären, was ich
> hier zeigen soll?
>
Diese Definition der Abbildung sagt einfach aus, dass ein Element aus [mm] $G\times [/mm] G'$ genommen und die erste Komponente (der Teil aus $G$) "herausgegriffen" wird, bzw. etwas formaler: Das Tupel wird auf die erste Komponente abgebildet/projiziert.
Darauf kannst du einfach deine Definition anwenden, also für $a,b [mm] \in G\times [/mm] G'$ muss gelten: [mm] $\Pi_1(a\cdot_{G\times G'} [/mm] b) = [mm] \Pi_1(a){*}_G\Pi_1(b)$
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß,
Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 So 21.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo alex,
danke für deine Erklärung. Ich habe jetzt verstanden, was ich zeigen muss. Leider habe ich noch keine Ahnung wie. Kannst du mir vlt einen Anfang geben?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 21.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
du nimmst dir zwei Elemente aus deiner Gruppe $(g,g'), (h,h') [mm] \in [/mm] G [mm] \times [/mm] G'$ und zeigst dann [mm] $\produkt_1((g,g')\*(h,h')) [/mm] = [mm] \produkt_1(g,g')\*\produkt_1(h,h')$
[/mm]
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 23.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
meinst du das so:
[mm] \produkt_1((g,g')*(h,h')) =\produkt_1(g_1*h_1,g_2*h_2,g'_1*h'_1,g'_2*h'_2)=((\produkt_1 (g_1*h_1)),(\produkt_1 (g_2*h_2)),(\produkt_1 (g'_1*h'_1)),(\produkt_1 (g'_2*h'_2)))=\produkt_1(g,g')*\produkt_1(h,h')
[/mm]
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Di 23.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Hallo,
>
> meinst du das so:
>
> [mm]\produkt_1((g,g')*(h,h')) =\produkt_1(g_1*h_1,g_2*h_2,g'_1*h'_1,g'_2*h'_2)=((\produkt_1 (g_1*h_1)),(\produkt_1 (g_2*h_2)),(\produkt_1 (g'_1*h'_1)),(\produkt_1 (g'_2*h'_2)))=\produkt_1(g,g')*\produkt_1(h,h')[/mm]
Nein, ich verstehe schon deinen ersten Schritt nicht. Schon im ersten Beitrag heißt es: $(g,g')*(h,h')=(g [mm] \* [/mm] h, g' [mm] \*' [/mm] h')$. Das was du da ausgerechnet hast macht in meinen Augen keinen Sinn.
Den ersten Schritt habe ich dir ja jetzt verraten, jetzt schau nochmal ganz genau was die Abbildung [mm] $\produkt_1$ [/mm] mit dem erhaltenen Ausdruck macht.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo
> Den ersten Schritt habe ich dir ja jetzt verraten, jetzt
> schau nochmal ganz genau was die Abbildung [mm]\produkt_1[/mm] mit
> dem erhaltenen Ausdruck macht.
also das ist ja das Produktzeichen. Das Produktzeichen ist definiert als:
[mm] \produkt_{k=m}^{n} a_k:= a_m*a_{m+1}*a_{m+2}.....
[/mm]
In unserem Fall:
[mm] \produkt_1(g,g')*(h,h')=\produkt_1(g \* [/mm] h, g' [mm] \*' h')=(g_1\*h_1,g_1'\*'h_1)*(g_{1+1}\*h_{1+1},g_{1+1}'\*'h_{1+1})*(g_{2+1}\*h_{2+1},g_{2+1}'\*'h_{2+1}).....
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Du hast schon recht, der griechische Buchstabe [mm] $\Pi$ [/mm] (groß Pi) wird als Produktzeichen verwendet. Namen sind aber bekanntlich Schall und Rauch: Hier soll es eine Abbildung (genauer: eine Projektion, darum vermutlich Pi) darstellen. Es ist also eine ganz "normale" Funktion, die einfach nur die erste Komponente des Tupels liefert. Ob die Bezeichnung pädagogisch sinnvoll ist, sei mal dahingestellt...
Bei c) bezeichnet [mm] $\Sigma$ [/mm] auch ausnahmsweise keine Summe.
Du kannst um die Aufgabe zu lösen also so wie von Lippel beschrieben anfangen.
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