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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:24 Mo 02.02.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Wie "multipliziert" man Untergruppen. |
Hi,
ich hätte eine kurze Definitionsfrage, die ich leider mithilfe meines Skriptes nicht klären konnte.
Ich habe eine Gruppe G und die Untergruppen H, K.
Wie definiert man das "Produkt" HK?
Ich hätte einfach gedacht [mm] $HK=\{hk|h\in H\,\,\text{und}\,\, k\in K\}$
[/mm]
Nun habe ich folgendes Satz:
Sei G eine Gruppe und H, K Untergruppe, wenn
I) $G=HK$
II) [mm] $H\cap K=\{e\}$
[/mm]
III) $hk=kh$ für alle [mm] $h\in [/mm] H$ und [mm] $k\in [/mm] K$
dann ist die Abbildung [mm] $\varphi: H\times K\to [/mm] G$ mit [mm] $(h,k)\mapsto [/mm] hk$ ein Isomorphismus.
Nun ist ein Beispiel angegeben, was wo ich nun mal die Bedingung I) bisher nicht nachvollziehen kann:
Beispiel: Betrachte [mm] $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] sowie [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
[/mm]
Dann ist [mm] $H=\{0,3\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $K=\{0,2,4\}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
[/mm]
Das II) und III) erfüllt ist, ist klar, aber wie berechnet man hier HK?
Denn wenn ich als Verknüpfung die Multiplikation wähle, dann ist [mm] $HK=\{0\}$
[/mm]
Jedenfalls wenn ich alle Elemente modulo 6 betrachte.
Wenn ich als Verknüpfung die Addition betrachte, dann passt es.
Wie erkenne ich, welche Verknüpfung gemeint ist? Hier steht es ja nicht explizit dabei...
Die weitere Frage ist, wie kann ich am besten die Isomorphie von beispielsweise
[mm] $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\cong [/mm] K$ begründen.
Reicht es über die Kardinalität der Mengen zu begründen, dass so ein Isomorphismus existiert.
Ansonsten kann ich ja auch einfach die Abbildung
$f: [mm] \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to [/mm] K$ mit [mm] $x\mapsto [/mm] 2x$ betrachten.
Die ist offensichtlich bijektiv. Es würde hier ja schon die injektivität reichen, welche klar ist, da der Kern trivial ist. Und weil die Mengen gleiche Kardinalität haben, ist sie damit auch schon surjektiv, also bijektiv.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Mo 02.02.2015 | | Autor: | statler |
Auch hi!
> Wie "multipliziert" man Untergruppen.
Besser wäre: Wie verknüpft man Untergruppen?
> ich hätte eine kurze Definitionsfrage, die ich leider
> mithilfe meines Skriptes nicht klären konnte.
>
> Ich habe eine Gruppe G und die Untergruppen H, K.
> Wie definiert man das "Produkt" HK?
> Ich hätte einfach gedacht [mm]HK=\{hk|h\in H\,\,\text{und}\,\, k\in K\}[/mm]
Ja.
>
> Nun habe ich folgendes Satz:
>
> Sei G eine Gruppe und H, K Untergruppe, wenn
>
> I) [mm]G=HK[/mm]
> II) [mm]H\cap K=\{e\}[/mm]
> III) [mm]hk=kh[/mm] für alle [mm]h\in H[/mm] und [mm]k\in K[/mm]
>
> dann ist die Abbildung [mm]\varphi: H\times K\to G[/mm] mit
> [mm](h,k)\mapsto hk[/mm] ein Isomorphismus.
>
> Nun ist ein Beispiel angegeben, was wo ich nun mal die
> Bedingung I) bisher nicht nachvollziehen kann:
>
> Beispiel: Betrachte [mm]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/mm] und
> [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm] sowie [mm]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm].
>
> Dann ist [mm]H=\{0,3\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm] und
> [mm]K=\{0,2,4\}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm]
>
> Das II) und III) erfüllt ist, ist klar, aber wie berechnet
> man hier HK?
>
> Denn wenn ich als Verknüpfung die Multiplikation wähle,
> dann ist [mm]HK=\{0\}[/mm]
Z/6Z mit der Multiplikation ist überhaupt keine Gruppe, das kann es dann wohl nicht sein.
> Wenn ich als Verknüpfung die Addition betrachte, dann
> passt es.
> Wie erkenne ich, welche Verknüpfung gemeint ist? Hier
> steht es ja nicht explizit dabei...
Man schreibt eine Gruppe deswegen auch korrekt G = (M, [mm] $\circ$).
[/mm]
>
> Die weitere Frage ist, wie kann ich am besten die
> Isomorphie von beispielsweise
>
> [mm]\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\cong K[/mm] begründen.
> Reicht es über die Kardinalität der Mengen zu begründen,
> dass so ein Isomorphismus existiert.
Isomorphismus ist bijektiv und strukturerhaltend, Kardinalität reicht also nicht.
>
> Ansonsten kann ich ja auch einfach die Abbildung
>
> [mm]f: \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to K[/mm] mit [mm]x\mapsto 2x[/mm] betrachten.
> Die ist offensichtlich bijektiv. Es würde hier ja schon
> die injektivität reichen, welche klar ist, da der Kern
> trivial ist. Und weil die Mengen gleiche Kardinalität
> haben, ist sie damit auch schon surjektiv, also bijektiv.
Reichen würde das hier für die Isomorphie, wenn man weiß, daß es bis auf Isom. nur jeweils eine Gruppe der Ordnung 2 bzw. 3 gibt.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:42 Mo 02.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Es wäre also noch zu zeigen, dass das Bild der Abbildung ebenfalls eine Gruppe ist.
Ok, wenn [mm] $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ [/mm] bezüglich Multiplikation keine Gruppe ist, dann war die Frage dumm...
Hätte ich auch direkt merken können.
Es scheitert wohl daran, dass 5 nicht invertierbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mo 02.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
> Es wäre also noch zu zeigen, dass das Bild der Abbildung
> ebenfalls eine Gruppe ist.
Noch mal: [mm] ($\{$6Z, 3+6Z$\}$, [/mm] +) ist eine Gruppe mit 2 Elementen, (Z/2Z, +) ist auch eine Gruppe mit 2 Elementen, also sind beide isomorph. Und entsprechend kann der andere Fall laufen.
>
> Ok, wenn [mm]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/mm] bezüglich Multiplikation
> keine Gruppe ist, dann war die Frage dumm...
> Hätte ich auch direkt merken können.
> Es scheitert wohl daran, dass 5 nicht invertierbar ist.
Daran kann es nicht scheitern, weil 5 [mm] $\dot$ [/mm] 5 = 25 [mm] $\equiv$ [/mm] 1 mod 6 ist. Es scheitert mehr daran, daß 2 [mm] $\dot$ [/mm] 3 = 6 ist.
Gruß
Dieter
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