Gruppen der Ordnung 8 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Bestimme bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 8. |
Hallo Forum,
ich hab mal versucht, alle Gruppen zu bestimmen, weiß aber nicht, ob dasl alle sind. Ich hoff, es kann mir jemand dabei weiter helfen.
[mm] \IZ_{8} [/mm] = <a> = {e, a, [mm] a^{2},a^{3}, a^{4},a^{5}, a^{6},a^{7}} [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = [mm]
[/mm]
[mm] \IZ_{4} \times \IZ_{2} [/mm] = <a> [mm] \times [/mm] <b> = {e, a, [mm] a^{2}, a^{3}, [/mm] b, ab, [mm] a^{2}b, a^{3}b [/mm] }
[mm] \IZ_{2} \times \IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] = <a> [mm] \times [/mm] <b> [mm] \times [/mm] <c> = {e, a, b, c, ab, ac, bc, abc}
Diese Gruppen sind abelsch.
Dann hat unser Tutor gesagt, dass es noch 2 weitere Gruppen mit Ordnung 8 gibt, nämlich die Diedergruppe [mm] D_{4} [/mm] und die Quaternionengruppe
Aber wie kommt man auf diese beiden Gruppen,
und wie sehen sie konkret aus?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Danke!!!
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Di 08.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Das ist normalerweise eine Standardaufgabe zum "Ausprobieren", d.h. es reicht hier aus die Gruppenaxiome zu verwenden und Ordnungsargumente zu benutzen.
(Elementarwissen: Die Ordnung jedes Gruppenelements teilt die Gruppenordnung!)
Möglicher (naiver) Ansatz:
1. Fall: es existiert ein Element der Ordnung 8 (-> hier kommt natürlich die zyklische Gruppe der Ordnung 8 heraus, Dein [mm] $Z_8$)
[/mm]
2. Fall: es existiert ein Element der Ordnung 4, aber keins der Odnung 8. Dieses sei a.
Dann hast Du schon einmal die Elemente $e, a , [mm] a^2, a^3$ [/mm] und es muss noch eine weiteres Element, dieses sei b, geben.
Gruppenelemente: $e, a , [mm] a^2, a^3, [/mm] b, ab , a^2b, a^3b$
Wenn a mit b kommutiert, ergibt sich dann die von Dir angegebenen Gruppe [mm] $Z_4 \times Z_2$.
[/mm]
Nun muss aber nicht ba=ab gelten.
$ba=a^2b$ führst Du dann zum Widerspruch (Gruppentafel, Ordnungs- und Teilerargumente ...)
ba=a^3b funktioniert aber und es kommen nach weiteren Fallunterschiedungen zwei weitere Gruppen heraus.
Diedergruppe (nur die Elemnte a und [mm] $a^3$ [/mm] haben Ordnung 4) [Hierfür gibt es eine schöne geometrische Anschauung oder eine als Untergruppe der $S-4$ [sym. Gruppe der Ordnung 4])
Quaternionengruppe (es gibt nur ein Element der Ordnung 2) [Hier gibt es eine Anschauung als Quaternionen und eine schöne explizite Darstellung über bestimmte sehr einfache komplexe Matrizen ...]
3. Fall: Alle Gruppenelemente haben maximal die Ordnung 2.
Dann kommt die [mm] $Z_2 \times Z_2 \times Z_2$ [/mm] (heraus).
Schwierigkeit:
***********
Du musst konsequente Fallunterscheidungen machen, damit Du hinterher auch sagen kannst, dass Du alle Gruppen (bis auf Isomorphie) angegeben hast.
Die Angabe der Gruppen erfolgt über die Angabe bzw. Entwicklung einer Gruppentafel.
Das Ganze übt den Umgang mit den Gruppenaxiomen, Ordnungargumenten und dem Erstellen von Gruppentafeln ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 08.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab mal versucht, mit deiner Hilfe weiter zu arbeiten.
> (Elementarwissen: Die Ordnung jedes Gruppenelements teilt
> die Gruppenordnung!)
>
> Möglicher (naiver) Ansatz:
>
> 1. Fall: es existiert ein Element der Ordnung 8 (-> hier
> kommt natürlich die zyklische Gruppe der Ordnung 8 heraus,
> Dein [mm]Z_8[/mm])
Wenn eine Gruppe die Ordnung 8 hat und ein Element der Ordnung 8 enthält, dann ist es genau die zyklische Gruppe [mm] \IZ_{8}, [/mm] oder?
>
> 2. Fall: es existiert ein Element der Ordnung 4, aber keins
> der Odnung 8. Dieses sei a.
>
> Dann hast Du schon einmal die Elemente [mm]e, a , a^2, a^3[/mm] und
> es muss noch eine weiteres Element, dieses sei b, geben.
> Gruppenelemente: [mm]e, a , a^2, a^3, b, ab , a^2b, a^3b[/mm]
>
> Wenn a mit b kommutiert, ergibt sich dann die von Dir
> angegebenen Gruppe [mm]Z_4 \times Z_2[/mm].
D.h. diese Gruppe ist abelsch oder?
>
> Nun muss aber nicht ba=ab gelten.
Das ist der nichtabelsche Fall oder? Hat diese Gruppe einen bestimmten Namen oder eine Bezeichnung? Oder ist das auch die Gruppe [mm]Z_4 \times Z_2[/mm] ?
>
> [mm]ba=a^2b[/mm] führst Du dann zum Widerspruch (Gruppentafel,
> Ordnungs- und Teilerargumente ...)
Ich versteh nicht ganz, warum man das zeigen muss. Wieso muss man das zum Widerspruch führen? Für welche Gruppe zeige ich das denn?
>
> ba=a^3b funktioniert aber und es kommen nach weiteren
> Fallunterschiedungen zwei weitere Gruppen heraus.
Hier genauso. Warum muss ich das zeigen? Ich hoffe, du erklärst es mir.
>
> Diedergruppe (nur die Elemnte a und [mm]a^3[/mm] haben Ordnung 4)
> [Hierfür gibt es eine schöne geometrische Anschauung oder
> eine als Untergruppe der [mm]S-4[/mm] [sym. Gruppe der Ordnung 4])
Die Diedergruppe ist auch eine Gruppe mit keinem Element der Ordnung 8 oder?
In unserem Fall ist doch [mm] |D_{4}| [/mm] = 8. Die Elemente von [mm] D_{4} [/mm] sind Spiegelungen und Drehungen eines Quadrats oder?
Sei [mm] \rho [/mm] Rotation um den Winkel [mm] \bruch{2 \pi}{n}, [/mm] hier [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] und [mm] s_{1} [/mm] bis [mm] s_{4} [/mm] die Spiegelungen des Quadrats an dne 4 Achsen (x-Achse, y-Achse, 2 Winkelhalbierenden), dann ist [mm] D_{4} [/mm] = {e, [mm] \rho, \rho^{2}, \rho^{3}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4} [/mm] }
Stimmt das so?
Wie könnte man das denn in einer Gruppentafel veranschaulichen?
>
> Quaternionengruppe (es gibt nur ein Element der Ordnung 2)
> [Hier gibt es eine Anschauung als Quaternionen und eine
> schöne explizite Darstellung über bestimmte sehr einfache
> komplexe Matrizen ...]
Ich versteh diese Gruppe leider nicht. Ich hab aber in einem Buch gesehen, dass die Quaternionengruppe mit 8 Elementen so aussieht:
[mm] Q_{2} [/mm] = {e, a, [mm] a^{2}, a^{3}, [/mm] b, ba, [mm] ba^{2}, ba^{3} [/mm] }
Die Gruppe sieht so ähnlich aus wie die [mm] \IZ_{4} \times \IZ_{2}, [/mm] aber nur das die Faktoren vertauscht sind, kann das sein?
Als komplexe Matrizen sieht das so aus:
[mm] s_{1} [/mm] = 1 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] s_{2} [/mm] = i = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = -1 = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
[mm] s_{4} [/mm] = -i = [mm] \pmat{ -i & 0 \\ 0 & -i }
[/mm]
[mm] s_{5} [/mm] = j = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
[mm] s_{6} [/mm] = -k = [mm] \pmat{ 0 & -i \\ -i & 0 }
[/mm]
[mm] s_{7} [/mm] = -j = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] s_{8} [/mm] = k = [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }
[/mm]
Wie kommt man da drauf? Und was stellen die Quaternionen dar?
> 3. Fall: Alle Gruppenelemente haben maximal die Ordnung 2.
>
> Dann kommt die [mm]Z_2 \times Z_2 \times Z_2[/mm] (heraus).
>
> Schwierigkeit:
> ***********
> Du musst konsequente Fallunterscheidungen machen, damit Du
> hinterher auch sagen kannst, dass Du alle Gruppen (bis auf
> Isomorphie) angegeben hast.
> Die Angabe der Gruppen erfolgt über die Angabe bzw.
> Entwicklung einer Gruppentafel.
>
> Das Ganze übt den Umgang mit den Gruppenaxiomen,
> Ordnungargumenten und dem Erstellen von Gruppentafeln ...
Ich versteh das nicht ganz, wie ich das mit Gruppentafeln machen soll. Könntest du mir da ein Beispiel angeben, damit ich ungefähr weiß, ich das geht.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Di 08.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Halo Moe,
> Wenn eine Gruppe die Ordnung 8 hat und ein Element der
> Ordnung 8 enthält, dann ist es genau die zyklische Gruppe
> [mm]\IZ_{8},[/mm] oder?
Jupp, [mm] $G=\{e,a,a^2,a^3,a^4,a^5,a^6,a^7\}$
[/mm]
> > 2. Fall: es existiert ein Element der Ordnung 4, aber keins
> > der Odnung 8. Dieses sei a.
> >
> > Dann hast Du schon einmal die Elemente [mm]e, a , a^2, a^3[/mm] und
> > es muss noch eine weiteres Element, dieses sei b, geben.
> > Gruppenelemente: [mm]e, a , a^2, a^3, b, ab , a^2b, a^3b[/mm]
So kannst Du übrigens alle drei Gruppen zu "diesem Fall" aufschreiben.
Jetzt ist aber nicht klar, wie die Gruppentafeln aussehen. Ich gehe davon aus, dass Du weisst was das ist.
Am besten schreibst Du die Gruppentafel einmal hin.
Das "Unterquadrat von [mm] $e,a,a^2,a^3$ [/mm] ist schon klar und einige andere Elemente.
Aber was z.B gar nicht festgelegt ist, ist das Produkt $ba$.
Prinzipiell kommen dafür nur $ab, [mm] ab^2$ [/mm] und [mm] $ab^3$ [/mm] in Frage.
(Denn z.B.:
ba = a führt zum Widerspruch b = e oder
ba = $b$ führt zum Widerspruch $a$ = e usw.
usw.)
Allgemein folgt aus der Kürzungsregel in Gruppen, dass in jeder Spalte und Zeile der Gruppentafel jedes Element genau einmal steht!
> > > Wenn a mit b kommutiert, ergibt sich dann die von Dir
> > angegebenen Gruppe [mm]Z_4 \times Z_2[/mm].
> D.h. diese Gruppe ist abelsch oder?
Ja und wir sind im Fall ba= ab
Dann ergibt sich auch eine eindeutige Gruppentafel, und die Gruppe ist isopmorph zu [mm]Z_4 \times Z_2[/mm].
> > Nun muss aber nicht ba=ab gelten.
> Das ist der nichtabelsche Fall oder?
Jupp und hier gibt es insgesamt zwei nicht isomorphe Gruppen, eben die Diedergruppe und die Quaternionengruppe.
> ... auch die Gruppe [mm]Z_4 \times Z_2[/mm] ?
Natürlich kann das nicht zutreffen, diese Gruppe ist abelsch ... und dort gilt: ab= ba
> > [mm]ba=a^2b[/mm] führst Du dann zum Widerspruch (Gruppentafel,
> > Ordnungs- und Teilerargumente ...)
Das solltest Du vielleicht einmal ausprobieren ...
> Ich versteh nicht ganz, warum man das zeigen muss. Wieso
> muss man das zum Widerspruch führen? Für welche Gruppe
> zeige ich das denn?
Was Du tust ist, alle Gruppentafeln für Gruppen der Ordnung 8 systematisch aufzuschreiben. Das ist der naive Ansatz.
Jede endliche Gruppe ist durch die Angabe seiner Elemente und der Gruppentafel eindeutig (bis auf Isomorphie) festgelegt.
> > $ba=a^3b$ funktioniert aber und es kommen nach weiteren
> > Fallunterschiedungen zwei weitere Gruppen heraus.
>
> Hier genauso. Warum muss ich das zeigen? Ich hoffe, du
> erklärst es mir.
Siehe oben!
> >
> > Diedergruppe (nur die Elemnte a und [mm]a^3[/mm] haben Ordnung 4)
> > [Hierfür gibt es eine schöne geometrische Anschauung oder
> > eine als Untergruppe der [mm]S-4[/mm] [sym. Gruppe der Ordnung 4])
>
> Die Diedergruppe ist auch eine Gruppe mit keinem Element
> der Ordnung 8 oder?
Ja, die (90 Grad) Drehung hat Ordnung 4 (ebenso die 270 Grad) Drehung und sonst gibt es nur Elemnte der Ordnung 2 ...
> Wie könnte man das denn in einer Gruppentafel
> veranschaulichen?
In dem Du die ganze Gruppentafel hinschreibst, hier legst Du fest, wie die Gruppenverknüpfung auf den Gruppenelementen "funktioniert".
> Ich versteh diese Gruppe leider nicht.
> ...
> Die Gruppe sieht so ähnlich aus wie die [mm]\IZ_{4} \times \IZ_{2},[/mm]
> aber nur das die Faktoren vertauscht sind, kann das sein?
Nein, es ist eine grundlegend andere Gruppe. Du kannst ja mal die Ordnungen aller Elemente (jeweils für eine Gruppe angeben und vergleichen ...)
Zusatz: Bei einem Gruppenisomorphismus bleiben die Ordnungen der Elemente natürlich erhalten ...
> Wie kommt man da drauf? Und was stellen die Quaternionen
> dar?
Das ist für Dich und die Aufgabe nicht wichtig. Wie kommt man auf i? Warum gibt es die Zahl [mm] $\wurzel{2}$, [/mm] obwohl es keine rationale Zahl ist??? Usw.
> > 3. Fall: Alle Gruppenelemente haben maximal die Ordnung 2.
Das heisst, alle Elemente ausser e haben Ordnung 2.
Eine solche Gruppe ist immer kommutativ.
(Ist auch ne schöne Übungsaufgabe:
Es G eine Gruppe mit [mm] $g^2=e$ [/mm] für alle g. Zeigen Sie, die Gruppe ist abelsch.)
> > Dann kommt die [mm]Z_2 \times Z_2 \times Z_2[/mm] (heraus).
> >
> > Schwierigkeit:
> > ***********
> > Du musst konsequente Fallunterscheidungen machen, damit
> Du
> > hinterher auch sagen kannst, dass Du alle Gruppen (bis auf
> > Isomorphie) angegeben hast.
> > Die Angabe der Gruppen erfolgt über die Angabe bzw.
> > Entwicklung einer Gruppentafel.
> >
> > Das Ganze übt den Umgang mit den Gruppenaxiomen,
> > Ordnungargumenten und dem Erstellen von Gruppentafeln ...
>
> Ich versteh das nicht ganz, wie ich das mit Gruppentafeln
> machen soll. Könntest du mir da ein Beispiel angeben, damit
> ich ungefähr weiß, ich das geht.
Okay ein Versuch:
Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 4:
Naiver Ansatz:
1) Es existert ein Element mit Ordnung 4
Dann gilt: [mm] $G=\{e,g,g^2,g^3\}$, [/mm] hier spare ich mir mal die Gruppentafel ...
2) Es gibt kein Element mit Ordnung 4, dann hat jedes elment (ausser e) die Ordnung 2.
Es [mm] $g\not= [/mm] e$ ein solche Element.
Gruppenelemente bis hierhin: [mm] $G=\{e,g,?,?\}$
[/mm]
Gruppentafel:
*| e g ? ?
==========================
e| e g ? ?
g| g e ? ?
?| ? ? ? ?
?| ? ? ? ?
Jetzt muss es ja noch ein Element h [mm] $\notin \{e,a\}$ [/mm] geben:
Gruppenelemente bis hierhin: [mm] $G=\{e,g,h,?\}$
[/mm]
Gruppentafel:
*| e g h ?
==========================
e| e g b ?
g| g e gh ?
h| b ? e ?
?| ? ? ? ?
Was ist nun gh?
gh= e führt zum Widerspruch g=h
gh= g führt zum Widerspruch h=e
gh= h führt zum Widerspruch g=e
Somit hast Du alle Gruppenelemente gefunden!
Gruppenelemente bis hierhin: [mm] $G=\{e,g,h,gh\}$
[/mm]
Gruppentafel:
* | e g h gh
==========================
e | e g b gh
g | g e gh ?
h | b ? e ?
gh| gh ? ? ?
Zum Spass ersetzt nun alle Fragzeichen! (Dein Job)
Beispiel:
ggh = eh = h
usw.
Es ergibt sich eine Gruppentafel für [mm] $Z_2 \times \Z_2$.
[/mm]
Wenn Du es ganz genau nimmst, musst Du Dir nun klar machen, warum das Assoziativgestz gilt bzw. warum es gilt.
Ich hoffe, das hilft auch ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
danke für deine lange, ausführliche Antwort. Ich hab aber einiges noch nicht ganz verstanden unda wollte daher nochmal nachfragen 
> Am besten schreibst Du die Gruppentafel einmal hin.
> Das "Unterquadrat von [mm]e,a,a^2,a^3[/mm] ist schon klar und
> einige andere Elemente.
>
> Aber was z.B gar nicht festgelegt ist, ist das Produkt [mm]ba[/mm].
>
> Prinzipiell kommen dafür nur [mm]ab, ab^2[/mm] und [mm]ab^3[/mm] in Frage.
Muss das nicht [mm] a^{2}b [/mm] und [mm] a^{3}b [/mm] heißen? Denn b hat doch nur die Ordnung 2.
>
> (Denn z.B.:
> ba = a führt zum Widerspruch b = e oder
> ba = [mm]b[/mm] führt zum Widerspruch [mm]a[/mm] = e usw.
> usw.)
>
> Allgemein folgt aus der Kürzungsregel in Gruppen, dass in
> jeder Spalte und Zeile der Gruppentafel jedes Element genau
> einmal steht!
>
>
> > > > Wenn a mit b kommutiert, ergibt sich dann die von Dir
> > > angegebenen Gruppe [mm]Z_4 \times Z_2[/mm].
> > D.h. diese Gruppe ist abelsch oder?
>
> Ja und wir sind im Fall ba= ab
D.h. ich nehme für den ersten Fall an, dass ba = ab ist. Dann ist aber auch [mm] ba^{2} [/mm] = [mm] a^{2}b, ba^{3} [/mm] = [mm] a^{3}b [/mm] oder? Und dann ist diese Gruppe isomorph zu [mm] \IZ_{4} \times \IZ_{2}.
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden?
>
> Dann ergibt sich auch eine eindeutige Gruppentafel, und die
> Gruppe ist isopmorph zu [mm]Z_4 \times Z_2[/mm].
>
> > > Nun muss aber nicht ba=ab gelten.
> > Das ist der nichtabelsche Fall oder?
>
> Jupp und hier gibt es insgesamt zwei nicht isomorphe
> Gruppen, eben die Diedergruppe und die Quaternionengruppe.
>
> > > [mm]ba=a^2b[/mm] führst Du dann zum Widerspruch (Gruppentafel,
> > > Ordnungs- und Teilerargumente ...)
>
> Das solltest Du vielleicht einmal ausprobieren ...
Ich hab das mal versucht, weiß aber nicht, ob das so stimmt:
Gelte ba = [mm] a^{2}b. [/mm] Dann habe ich beide Seiten quadriert und erhalte [mm] b^{2}a^{2} [/mm] = [mm] b^{2}, [/mm] und da b die Ordnung 2 hat, folgt [mm] a^{2} [/mm] = e, was ein Widerspruch ist.
Stimmt das so? Ich weiß nicht, wie ich das sonst zeigen soll.
> > > [mm]ba=a^3b[/mm] funktioniert aber und es kommen nach weiteren
> > > Fallunterschiedungen zwei weitere Gruppen heraus.
Das hab ich noch nicht ganz verstanden, was du damit meinst. Wie kann ich denn zeigen, dass ba = [mm] a^{3}b [/mm] "Funktioniert"? Und welche Fallunterscheidung muss ich machen? Und wie folgt daraus die Diedergruppe und die Quaternionengruppe?
>
> Okay ein Versuch:
>
> Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung
> 4:
>
> Naiver Ansatz:
>
> 1) Es existert ein Element mit Ordnung 4
>
> Dann gilt: [mm]G=\{e,g,g^2,g^3\}[/mm], hier spare ich mir mal die
> Gruppentafel ...
>
> 2) Es gibt kein Element mit Ordnung 4, dann hat jedes
> elment (ausser e) die Ordnung 2.
>
> Es [mm]g\not= e[/mm] ein solche Element.
>
> Gruppenelemente bis hierhin: [mm]G=\{e,g,?,?\}[/mm]
>
> Gruppentafel:
>
> *| e g ? ?
> ==========================
> e| e g ? ?
> g| g e ? ?
> ?| ? ? ? ?
> ?| ? ? ? ?
>
> Jetzt muss es ja noch ein Element h [mm]\notin \{e,a\}[/mm] geben:
>
> Gruppenelemente bis hierhin: [mm]G=\{e,g,h,?\}[/mm]
>
> Gruppentafel:
>
> *| e g h ?
> ==========================
> e| e g b ?
> g| g e gh ?
> h| b ? e ?
> ?| ? ? ? ?
>
> Was ist nun gh?
>
> gh= e führt zum Widerspruch g=h
> gh= g führt zum Widerspruch h=e
> gh= h führt zum Widerspruch g=e
>
> Somit hast Du alle Gruppenelemente gefunden!
>
> Gruppenelemente bis hierhin: [mm]G=\{e,g,h,gh\}[/mm]
>
> Gruppentafel:
>
> * | e g h gh
> ==========================
> e | e g b gh
> g | g e gh h
> h | b gh e g
> gh| gh b g e
>
> Zum Spass ersetzt nun alle Fragzeichen! (Dein Job)
>
> Beispiel:
>
> ggh = eh = h
Ich hab versucht die Lücken zu füllen. Stimmt das so oben?
Ich hoffe, du hilfst mir weiter. Vielen Dank für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 09.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hallo Moe,
> Muss das nicht [mm]a^{2}b[/mm] und [mm]a^{3}b[/mm] heißen?
Ja, das hast Du vollkommen richtig erkannt.
> Hab ich das so richtig verstanden?
(Das bezog sich auf den ersten abelschen, aber nicht zyklischen Fall!)
Ja!
> Ich hab das mal versucht, weiß aber nicht, ob das so
> stimmt:
> Gelte ba = [mm]a^{2}b.[/mm] Dann habe ich beide Seiten quadriert
> und erhalte [mm]b^{2}a^{2}[/mm] = [mm]b^{2},[/mm] und da b die Ordnung 2 hat,
> folgt [mm]a^{2}[/mm] = e, was ein Widerspruch ist.
> Stimmt das so? Ich weiß nicht, wie ich das sonst zeigen
> soll.
Du darfst hier aber nicht einfach so a und b "vertauschen", das darf man halt nur bei abelschen Gruppen ...
Z.B. komme ich für auf (es gelte: $ba = a^2b$)
[mm] $(ba)^2=(ba)(ba)=(a^2b)(a^2b)=a^2(ba)ab [/mm] = [mm] a^2(a^2ba)ab [/mm] = [mm] e(ba)b=(a^2b)b=a^2bb=a^2b^2=...$
[/mm]
Das sind Umformungen, die okay sind, da ja das Assoziativgesetz gelten soll ...
[Aber zu tun ist hier dann noch einiges ...]
> > Gruppentafel:
> >
> > * | e g h gh
> > ==========================
> > e | e g b gh
> > g | g e gh h
> > h | b gh e g
> > gh| gh b g e
Das ist korrekt und da Du keine weiteren Einschränkungen gemachts hast (erst ein beliebiges Element g der Ordnung 2 gewählt, es waren ja noch alle Elemente benannt bzw. festgelegt und dann noch ein Element h der Ordnung 2, es waren immer noch nicht genug), ist die Gruppe (bis auf Isomorphie) eindeutig ... [wir sind hier im Fall: es existiert kein Element der Ordnung 4]
In der Art und Weise kannst Du das halt auch mit Gruppen der Ordnung 8 machen.
Das ist natürlich etwas Arbeit, aber sicherlich noch zu schaffen ...
Grüße,
MicMuc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:50 Do 10.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
ich hab mal versucht, den Widerspruchsbeweis fortzuführen.
> Du darfst hier aber nicht einfach so a und b "vertauschen",
> das darf man halt nur bei abelschen Gruppen ...
>
> Z.B. komme ich für auf (es gelte: [mm]ba = a^2b[/mm])
>
[mm][mm] (ba)^2=(ba)(ba)=(a^2b)(a^2b)=a^2(ba)ab [/mm] = [mm] a^2(a^2ba)ab [/mm] = [mm] e(ba)b=(a^2b)b=a^2bb=a^2b^2= a^{2}
[/mm]
Und wenn ich jetzt die Gleichung ohne Quadrat betrachte, dann steht da ba = a, und daraus folgt b =e, ein Widerspruch. Stimmt das so?
Mir ist aber ein SChritt in der Kette unklar, und zwar, warum ist [mm] a^{2}(ba) [/mm] ab = [mm] a^{2} (a^{2}ba)ab?
[/mm]
Bin ich dann fertig mit dem Fall?
Jetzt muss man doch noch zeigen, dass ba = [mm] a^{3} [/mm] gilt oder? Kannst du mir da einen Tipp geben, wie das geht. Ich hab schon rumprobiert, aber ich weiß nicht genau, wie ich das zeigen kann.
Wie folgt dann daraus die Diedergruppe und Quaternionengruppe?
Mir ist der Schritt noch unklar.
Ich hoffe, du erklärst es mir.
Vielen Dank schonmal,
Viele Grüße Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Fr 11.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
[mm]a^{2}(ba)[/mm] ab = [mm]a^{2} (a^{2}ba)ab?[/mm]
ist ein Tippfehler. Es sollte heissen:
[mm]a^{2}(ba)[/mm] ab = [mm]a^{2} (a^{2}b)ab?[/mm]
[mm] $a^2b^2=a^2e=a^2$ [/mm] ist eine gute Idee.
Du musst Dir nur noch im klaren sein, dass Du hier voraussetzt, dass b die Ordnung 2 hat. (Fall: a hat Ordnung 4, [mm] $b\not= a^2$ [/mm] hat Ordnung 2) ...
[Was Du aber nicht machen darsf ist z.B.:
[mm] $(ba)^2=a^2$, [/mm] dann gilt $b=e$. Willst Du hier die Wurzel ziehen???
Was geht ist:
[mm] $baba=(ba)^2=a^2$ [/mm] (Rechts a kürzen, bzw. die Gleichung von rechts mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] durchmultiplizieren ...)
[mm] $\Rightarrow [/mm] bab=a [mm] \Rightarrow [/mm] ab=ba$ (Links mit b durchmultiplizieren und benutzen, dass b Ordnung 2 hat.
$ab=ba$ sollte Dich nun stutzig machen ...]
Ich kann Dir nur noch einmal einen Tipp zum "geschickten" Aufbau der Fallunterscheidungen geben:
1. Es existiert ein Element der Ordnung 8 -> $G [mm] \cong C_8$
[/mm]
2. Es exisitert kein Element der Ordnung 8, aber ein Element der Ordnung 4. [mm] $U=\{e,a,a^2,a^3\}\subset [/mm] G$
2.1. Es existiert ein Element $b [mm] \notin [/mm] U$ der Ordnung 2
2.1.1 G ist abelsch -> [mm] $Z_4 \times Z_2$
[/mm]
2.1.2 G ist nicht abelsch, hier sollten sich die Diedergruppe ergeben. Eine "gültige" Gruppentafel herzuleiten könnte etwas dauern. Um dann festzuhalten, dass diese isomorph zur Diedergruppe ist, gehst Du so vor:
Vergleiche die Gruppentafeln, d.h. ordnen Deinen Elemeten Elemente der Diedergruppe zu und überprüfe ob die Gruppentafeln übereinstimmen.
2.2. Es existiert ein Element $b [mm] \notin [/mm] U$ der Ordnung 4
2.2.1. G ist abelsch -> [mm] $Z_4 \times Z_2$ [/mm] (keine neue Gruppe!)
2.2.2. G ist nicht abelsch -> es kommt die Quaternionengruppe heraus. (Könnte auch etwas dauern!)
3.1. Es existiert keine Element der Ordnung 8 bzw. 4, d.h. alle von e verschiedenen Elemente besitzen die Ordnung 2.
3.1.1. G ist abelsch -> [mm] $Z_2 \times Z_2 \times Z_2$
[/mm]
3.1.2. G ist nicht abelsch -> Widerspruch ...
Noch einmal Grundsätzliches:
Wenn Du eine gültige Gruppentafel herleitest, hast Du eine Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt, denn:
1) Du hast die paarweisen verschiedenen Elemente angegeben
2) Du hast die Gruppenverknüpfung vollständig angegeben
Gültig heisst hierbei:
3) In jeder Spalte und Zeile steht jedes Element genau einmal.
[Insbesondere hast Du damit für jedes Elemnt sein Inverses angegeben!]
4)* Auch das Assoziativgesetz gilt!
Bemerkung: Hier gibt es auch Gegenbeispiele, wenn nur 3) gilt. Aber das kannst Du so umgehen, dass Du immer nur "minimale" Festlegungen machst und dann den Rest der Gruppentafel über das Assoziativgesetz herleitest bzw. zu einem Widerspruch führst ...
Zum Schluss:
Was machst Du bei diesem "naiven" Ansatz eigentlich?
Du spielst SUDOKU (8x8-ohne Unterfelder)!
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Für Dich sind aber nur SuDoKus interessant, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur besitzen ... (d.h. Du musst hier nicht nur ausprobieren sondern auch ein bisschen rechnen bzw. Gruppenaxiome anwenden ...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
danke für deine Antwort. Ich glaub, ich hab das jetzt so langsam verstanden.
Ich hab nur noch Probleme bei der Quaternionengruppe.
G ist doch hier = {e, b, [mm] b^{2}, b^{3}, [/mm] a, ab, [mm] ab^{2}, ab^{3}} [/mm] oder?
Da hab ich die Gruppentafel aufgezeichnet. Und hab das was man schon wusste, ausgefüllt.
Nun weiß ich nicht was ba. Für diesen nichtabelschen Fall kommt für ba doch nur [mm] ab^{2} [/mm] oder [mm] ab^{3} [/mm] in Frage oder?
ba = [mm] ab^{2} [/mm] führt zu einem Widerspruch. Stimmt das?
Dann muss doch ba = [mm] ab^{3} [/mm] sein oder?
a hat in diesem Fall die Ordnung 2 oder? Dann wäre [mm] a^{2} [/mm] = e
Aber die Quternionengruppe [mm] Q_{2} [/mm] ist so definiert: {a,b | [mm] ^b^{4} [/mm] = e, [mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2}, a^{-1}ba [/mm] = [mm] b^{-1}}
[/mm]
Dann müsste a{2} = [mm] b^{2} [/mm] sein. Aber warum?
Ich komm bei der Quaternionengruppe leider überhaupt nicht klar.
Ich hoffe, du erklärst es mir, was ich falsch gemacht habe.
Danke,
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Sa 12.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hört sich für mich so an, dass Du abermals die Diedergruppe herausbekommst.
Gib mir mal alle Ordnungen der folgenden Elemente (zu diesem Fall) an:
a, ab, $ [mm] ab^{2}, ab^{3} [/mm] $
Um den Fall mit der Quaternionengruppe herzuleiten, solltest Du folgendermassen vorgehen:
Nimm e, b (Ordnung 4) U=<b> und ein drittes Element a [mm] $\notin [/mm] U$ (auch mit Ordnung 4).
Betrachte nun V = <a>.
Wenn U [mm] $\cap$ [/mm] V = {e} gelten würde, kommst Du auf mehr als 8 Elemente, da ja z.B. das Produkt ab in Deiner Gruppe liegen muss:
ab= e führt zum Widerspruch [mm] a=$b^3$
[/mm]
ab= b führt zum Widerspruch a=e
ab= [mm] $b^2$ [/mm] führt zum Widerspruch a=b
ab= [mm] $b^3$ [/mm] führt zum Widerspruch [mm] a=$b^2$
[/mm]
ab= a führt zum Widerspruch b=e
ab= [mm] $a^2$ [/mm] führt zum Widerspruch a=b
ab= [mm] $a^3$ [/mm] führt zum Widerspruch [mm] a=$b^2$
[/mm]
Hieraus folgt: U [mm] $\cap$ [/mm] V [mm] $\not=$ [/mm] {e}.
Dann muss gelten (das ist einfach):
$U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= \{e,a^2\}=\{e,b^2\}$.
[/mm]
Zwischenergebnis: [mm] $a^2= b^2$, $a^3 [/mm] = [mm] ab^2=b^2a$
[/mm]
$ ba = [mm] ab^2$ [/mm] führt nun zu einem schnellen Widerspruch und $ba= [mm] ab^3$ [/mm] sollte klappen ...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
danke für deine Antwort.
> Hört sich für mich so an, dass Du abermals die Diedergruppe
> herausbekommst.
>
> Gib mir mal alle Ordnungen der folgenden Elemente (zu
> diesem Fall) an:
Fall Diedergruppe oder?
> a, ab, [mm]ab^{2}, ab^{3}[/mm]
Muss das nicht wieder [mm] a^{2}b, [/mm] und [mm] a^{3}b [/mm] heißen? b hat doch die Ordnung 2.
Ich hab herausbekommen: ord(a) = 4, da [mm] a^{4} [/mm] = e.
ord(ab) = 2, da (ab) (ab) = a(ba) a = [mm] a(a^{3}b) [/mm] b = e
[mm] ord(a^{3}b) [/mm] = 4, da [mm] (a^{3}b) (a^{3}b) [/mm] = [mm] a^{3} (ba^{3}) [/mm] b = [mm] a^{3} (a^{2} [/mm] b) b = a
[mm] a(a^{3}b) [/mm] = b
b [mm] (a^{3}b) [/mm] = [mm] (ba^{2})(ab) [/mm] = ab (ab) = a(ba) b = [mm] a(a^{3}b) [/mm] b = e
[mm] (a^{2}b) (a^{2}b) [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] (ba) ab = [mm] a^{2} (a^{3}b) [/mm] ab = (ab) ab = a(ba) b = [mm] a(a^{3}b) [/mm] b = e
Also ist [mm] ord(a^{2}b) [/mm] = 2
Stimmt das so?
>
> Um den Fall mit der Quaternionengruppe herzuleiten,
> solltest Du folgendermassen vorgehen:
>
> Nimm e, b (Ordnung 4) U=<b> und ein drittes Element a [mm]\notin U[/mm]
> (auch mit Ordnung 4).
>
> Betrachte nun V = <a>.
> Wenn U [mm]\cap[/mm] V = {e} gelten würde, kommst Du auf mehr als 8
> Elemente, da ja z.B. das Produkt ab in Deiner Gruppe
> liegen muss:
Wieso komm ich da auf mehr als 8 Elemente?
>
> ab= e führt zum Widerspruch a=[mm]b^3[/mm]
> ab= b führt zum Widerspruch a=e
> ab= [mm]b^2[/mm] führt zum Widerspruch a=b
> ab= [mm]b^3[/mm] führt zum Widerspruch a=[mm]b^2[/mm]
> ab= a führt zum Widerspruch b=e
> ab= [mm]a^2[/mm] führt zum Widerspruch a=b
> ab= [mm]a^3[/mm] führt zum Widerspruch a=[mm]b^2[/mm]
>
> Hieraus folgt: U [mm]\cap[/mm] V [mm]\not=[/mm] {e}.
Wie folgt das? Das hab ich nicht verstanden.
> Dann muss gelten (das ist einfach):
> [mm]U \cap V \not= \{e,a^2\}=\{e,b^2\}[/mm].
Ich hab versucht, nachzuvollziehen, wie du da drauf kommst, aber leider hab ich das nicht ganz verstanden.
>
> Zwischenergebnis: [mm]a^2= b^2[/mm], [mm]a^3 = ab^2=b^2a[/mm]
>
> [mm]ba = ab^2[/mm] führt nun zu einem schnellen Widerspruch und [mm]ba= ab^3[/mm]
> sollte klappen ...
>
Ich hoffe, du kannst es mir nochmal erklären.
Vielen Dank dafür!
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:52 So 13.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> > Um den Fall mit der Quaternionengruppe herzuleiten,
> > solltest Du folgendermassen vorgehen:
> >
> > Nimm e, b (Ordnung 4) U=<b> und ein drittes Element a [mm]\notin U[/mm]
> > (auch mit Ordnung 4).
Bedingungen:
Es existiert kein Element der Ordnung 8, G ist nicht abelsch und Du hast schon folgende "Untergruppe":
[mm] $U=\{e,b,b^2,b^3$\}\subset [/mm] G$.
Weitere Annahme:
Es exisitert noch ein Element $a [mm] \notin [/mm] U$ mit Ordnung 4, neue Untergruppe:
[mm] $V=\{e,a,a^2,a^3$\}\subset [/mm] G$.
Wäre [mm] $U\cap [/mm] V [mm] =\{e\}$ [/mm] hättest Du schon die Elemente
[mm] $\{e,b,b^2,b^3,a,a^2,a^3\} \subset [/mm] G$ und es müssten alle Produke dieser 7 Elemente wiederum in G liegen.
Zum Beispiel: ab sowie ba
> > ab= e führt zum Widerspruch a=[mm]b^3[/mm]
> > ab= b führt zum Widerspruch a=e
> > ab= [mm]b^2[/mm] führt zum Widerspruch a=b
> > ab= [mm]b^3[/mm] führt zum Widerspruch a=[mm]b^2[/mm]
> > ab= a führt zum Widerspruch b=e
> > ab= [mm]a^2[/mm] führt zum Widerspruch b=a
> > ab= [mm]a^3[/mm] führt zum Widerspruch b=[mm]a^2[/mm]
Damit ist ab ein "neues" Element von G, gleiches funktioniert für ba ...,
da ferner [mm] $ab\not= [/mm] ba$ angenommen werden kann, sind es schon zu viele Elemente ...
Also muss gelten $U [mm]\cap[/mm] V [mm]\not=[/mm] {e}.$
Da $b [mm] \not= [/mm] a$ folgt:
[mm]U \cap V = \{e,a^2\}=\{e,b^2\}[/mm]
> > Zwischenergebnis: [mm]a^2= b^2[/mm], [mm]a^3 = ab^2=b^2a[/mm]
> >
> > [mm]ba = ab^2[/mm] führt nun zu einem schnellen Widerspruch und [mm]ba= ab^3[/mm]
> > sollte klappen ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 13.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
jetzt ist mir das mit der Quaternionengruppe etwas klarer.
Ich hab aber noch eine Frage. Beim vorletzten Posting hast du geschrieben:
U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= [/mm] {e, [mm] a^{2} [/mm] } = { [mm] e,b^{2} [/mm] }
und beim letzten Posting U [mm] \cap [/mm] V = {e, [mm] a^{2}} [/mm] = [mm] {e,b^{2}}
[/mm]
Da ich immer noch nicht verstehe, wie man auf diese Folgerung kommt, wenn man gezeigt hat, dass U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= [/mm] {e} ist, weiß ich nicht, was nun richtig ist.
Wie kommt man auf diese Folgerung?
Dann ist mir auch noch nicht klar, warum [mm] a^{3} [/mm] = [mm] ab^{2} [/mm] = [mm] b^{2}a [/mm] ist.
Dann wäre G doch abelsch oder?
Ich hoffe du erklärst es mir.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 13.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Hallo Moe,
> Ich hab aber noch eine Frage. Beim vorletzten Posting hast
> du geschrieben:
> $U [mm] \cap [/mm] V [mm] \not= \{e, a^2\} [/mm] = [mm] \{ e,b^2\}$
[/mm]
das war ein Tippfehler!
> und beim letzten Posting $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{e, a^{2}\} [/mm] = [mm] \{e,b^{2}\}$
[/mm]
So ist es richtig!
Die Idee: $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{e\}$ [/mm] führt zu mehr als 8 Elementen.
$U=V$ geht nicht, da sonst $b=a$ (oder [mm] $b=a^3$) [/mm] wir aber ein "neues" Element hinzugenommen haben!
Damit kann nur noch [mm] $a^2=b^2$ [/mm] gelten, oder aufgeschrieben mit U und V:
$U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \{e, a^2\}= \{e, b^2\}$
[/mm]
> Dann ist mir auch noch nicht klar, warum [mm]a^{3}[/mm] = [mm]ab^{2}[/mm] =
> [mm]b^{2}a[/mm] ist.
Herleitung:
[mm] $a^3=aaa=a(aa)=ab^2$
[/mm]
[mm] $a^3=aaa=(aa)a=b^2a$
[/mm]
> Dann wäre G doch abelsch oder?
Nein! In einer Gruppe können bestimmte Elemente ruhig miteinander kommutieren. In einer abelschen Gruppe kommutieren aber alle Elemente ...
[In nicht abelschen Gruppen kann es auch Elemente geben, die mit allen anderen kommutieren. Diese Elemente bilden den sogenannten Kommutator [mm] $K_G$ [/mm] der Gruppe. Für nicht abelsche Gruppen G gilt:
[mm] $K_G \not= [/mm] G$
Und für abelsche Gruppen gilt: [mm] $K_G [/mm] = G$]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 13.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo MicMuc,
wenn ich gezeigt habe, dass [mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] ist und [mm] a^{3} [/mm] = [mm] ab^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] a, dann ist die ord(a) nicht mehr 4 sondern reduziert sich auf 2 oder? weil dann ist <a> = {e, a}.
Dann bei Beweis von ba = [mm] ab^{3}, [/mm] kommt bei mir am Ende [mm] b^{-1} [/mm] = [mm] aba^{-1} [/mm] heraus. Stimmt das?
Danke für deine Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 So 13.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
> wenn ich gezeigt habe, dass [mm]a^{2}[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] ist und [mm]a^{3}[/mm] =
> [mm]ab^{2}[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] a, dann ist die ord(a) nicht mehr 4 sondern
> reduziert sich auf 2 oder? weil dann ist <a> = {e, a}.
Nein!
Wäre die Ordnung von a zwei, so gilt: [mm] $e=a^2=b^2$, [/mm] d. h. a und b haben Ordnung 2 (Widerspruch).
> Dann bei Beweis von ba = [mm]ab^{3},[/mm] kommt bei mir am Ende
> [mm]b^{-1}[/mm] = [mm]aba^{-1}[/mm] heraus. Stimmt das?
Das sollte stimmen.
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