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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 08.02.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Ich würde zu diversen multiple-choice Fragen gerne wissen warum diese wahr oder falsch sind. |
Hi,
ich habe hier einen multiple-choice Test und würde gerne zu einigen Fragen die genauere Begründung wissen weshalb diese richtig, oder falsch sind.
1. Gegeben sei eine bijektive Abbildung [mm] $\phi: G\to\mathbb{N}$, [/mm] dann ist G keine Gruppe.
Dies ist falsch, also ist G sehr wohl eine Gruppe.
Ich hatte gedacht, dass dies falsch ist. Mir fällt keine solche Gruppe ein. Ich konnte mir nicht vorstellen, dass dann wirklich zu jedem Element ein Inverses existiert wenn ich abzählbar unendlich viele Elemente in einer Gruppe habe.
Hat jemand ein Beispiel für eine solche Gruppe?
Einfach [mm] $sym(\mathbb{N})$, [/mm] wenn dies überhaupt "existiert"?
2. Sei G eine Gruppe. Gibt es ein [mm] $n\in\mathbb{N}_{>0}$, [/mm] so dass für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt [mm] $g^n=e_G$, [/mm] dann ist G endlich.
Dies ist falsch. Gedacht hatte ich, dass es wahr ist.
Also im Prinzip kenne ich glaube ich kein Beispiel für eine unendliche Gruppe, wie in der Frage zuvor.
Hat jemand ein Beispiel für eine Gruppe mit dieser Eigenschaft?
3. Gegeben sei ein Epimorphismus von endlichen Gruppen
[mm] $\phi: G\to [/mm] H$, dann ist |H| ein Teiler von |G|.
Hier hatte ich gedacht, dass es falsch ist.
Ich dachte ich könnte etwa eine Gruppe mit 7 Elementen surjektiv auf eine Gruppe mit 5 Elementen abbilden.
Aber vielleicht wäre sowas kein Homomorphismus mehr.
Dann habe ich noch ein paar Fragen wo meine "intiution" zwar richtig war, aber ich mir nicht sicher bin ob mein Gedanke es auch war.
4. Gegeben seien Gruppen G, H mit |G|=|H|=4 dann sind G und H isomorph.
Dies ist falsch, aber ich bin mir nicht sicher warum.
Wäre die Aussage richtig, wenn es sich bei der Ordnung um eine Primzahl handeln würde?
Ich denke schon, da Gruppen mit Primzahlordnung ja bereits isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ [/mm] sind.
5. Zu jeder Zahl [mm] $n\geq [/mm] 1$ gibt es eine Gruppe mit |G|=n
Dies ist wahr. Beim ankreuzen hatte ich einfach an sym(n) gedacht. Aber die Ordnung von sym(n) ist ja n!...
Dies sollte also keine richtige Begründung sein.
6. Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit |G|=1024, dann existiert ein Epimorphismus [mm] $G\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
[/mm]
Dies ist richtig.
Gedacht hatte ich an die Abbildung
[mm] $\phi: G\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] mit
[mm] $\phi(g)=g\mod [/mm] 2$
das ist offensichtlich surjektiv und auch ein Homomorphismus.
Im Grunde ist dies ja "das selbe" wie in Frage 3...
Da hätte ich mich dann vielleicht umentscheiden können. :)
Vielen Dank im voraus.
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> Ich würde zu diversen multiple-choice Fragen gerne wissen
> warum diese wahr oder falsch sind.
> Hi,
>
> ich habe hier einen multiple-choice Test und würde gerne
> zu einigen Fragen die genauere Begründung wissen weshalb
> diese richtig, oder falsch sind.
Naja, z.B. ist [mm] $\IZ [/mm] $ ja eine Gruppe und hat eine abzählbare unterliegende Menge.
> 1. Gegeben sei eine bijektive Abbildung [mm]\phi: G\to\mathbb{N}[/mm],
> dann ist G keine Gruppe.
>
> Dies ist falsch, also ist G sehr wohl eine Gruppe.
> Ich hatte gedacht, dass dies falsch ist. Mir fällt keine
> solche Gruppe ein. Ich konnte mir nicht vorstellen, dass
> dann wirklich zu jedem Element ein Inverses existiert wenn
> ich abzählbar unendlich viele Elemente in einer Gruppe
> habe.
>
> Hat jemand ein Beispiel für eine solche Gruppe?
> Einfach [mm]sym(\mathbb{N})[/mm], wenn dies überhaupt
> "existiert"?
>
> 2. Sei G eine Gruppe. Gibt es ein [mm]n\in\mathbb{N}_{>0}[/mm], so
> dass für alle [mm]g\in G[/mm] gilt [mm]g^n=e_G[/mm], dann ist G endlich.
>
> Dies ist falsch. Gedacht hatte ich, dass es wahr ist.
> Also im Prinzip kenne ich glaube ich kein Beispiel für
> eine unendliche Gruppe, wie in der Frage zuvor.
> Hat jemand ein Beispiel für eine Gruppe mit dieser
> Eigenschaft?
>
$Abb [mm] (X,\IZ/2) [/mm] $ mit kompenentenweiser Addittion, $ X $ unendlich.
> 3. Gegeben sei ein Epimorphismus von endlichen Gruppen
>
> [mm]\phi: G\to H[/mm], dann ist |H| ein Teiler von |G|.
>
> Hier hatte ich gedacht, dass es falsch ist.
> Ich dachte ich könnte etwa eine Gruppe mit 7 Elementen
> surjektiv auf eine Gruppe mit 5 Elementen abbilden.
> Aber vielleicht wäre sowas kein Homomorphismus mehr.
Es ist $ [mm] H\cong G/\ker\varphi [/mm] $, also [mm] $|\ker\varphi|\cdot|H|=|G|$.
[/mm]
>
> Dann habe ich noch ein paar Fragen wo meine "intiution"
> zwar richtig war, aber ich mir nicht sicher bin ob mein
> Gedanke es auch war.
>
> 4. Gegeben seien Gruppen G, H mit |G|=|H|=4 dann sind G und
> H isomorph.
>
> Dies ist falsch, aber ich bin mir nicht sicher warum.
> Wäre die Aussage richtig, wenn es sich bei der Ordnung um
> eine Primzahl handeln würde?
>
> Ich denke schon, da Gruppen mit Primzahlordnung ja bereits
> isomorph zu [mm]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/mm] sind.
Ja, das ist richtig. Bei Ordnung 4 gibt es z.B. [mm] $\IZ/4$ [/mm] und [mm] $\IZ/2\times\IZ/2$, [/mm] letztere ist nicht zyklisch, also sind die beiden nicht isomorph.
> 5. Zu jeder Zahl [mm]n\geq 1[/mm] gibt es eine Gruppe mit |G|=n
>
> Dies ist wahr. Beim ankreuzen hatte ich einfach an sym(n)
> gedacht. Aber die Ordnung von sym(n) ist ja n!...
> Dies sollte also keine richtige Begründung sein.
[mm] $\IZ/n [/mm] $
> 6. Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit |G|=1024, dann
> existiert ein Epimorphismus [mm]G\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm]
>
> Dies ist richtig.
> Gedacht hatte ich an die Abbildung
>
> [mm]\phi: G\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/mm] mit
>
> [mm]\phi(g)=g\mod 2[/mm]
>
> das ist offensichtlich surjektiv und auch ein
> Homomorphismus.
Was ist denn $ [mm] g\mod2$, [/mm] wobei $ g $ aus einer völlig beliebigen Gruppe stammt? Ich denke, dass man an dieser Stelle den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen bemühen sollte. Haben wir nicht sogar schon einmal hier im Forum geklärt, dass es zu jedem Teiler der Ordnung einer endlichen abelschen Gruppe eine Untergruppe ebendieser Ordnung gibt? Die Quotientengruppe tut dann das Übrige.
> Im Grunde ist dies ja "das selbe" wie in Frage 3...
> Da hätte ich mich dann vielleicht umentscheiden können.
> :)
>
> Vielen Dank im voraus.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Die unendliche Gruppe [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] war mir hinterher auch noch eingefallen...
Ich hätte noch mal eine Frage zu dieser Frage:
Sind H und K Untergruppen von G mit der Eigenschaft [mm] $H\cap K=\{1\}$, [/mm] so ist
[mm] $G\cong H\times [/mm] K$
Dies ist falsch. Ich habe aber eher geraten, weil für mich diese Isomorphie keinen Sinn ergeben würde.
Warum genau ist dies falsch? Eine Erläuterung fände ich sehr hilfreich.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 10.02.2015 | | Autor: | MacMath |
"Keinen Sinn ergeben" ist gar nicht so falsch ;)
{1} selbst ist bereits Untergruppe. Wähle nun eine beliebige echte Untergruppe dazu.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Also das "keinen Sinn ergeben" meinte ich so, dass [mm] $H\times [/mm] K$ für mich ein Tupel ist, aber G ja keine Tupel enthält.
Diese Anschauung ist aber wahrscheinlich grob falsch und hier ist gar nicht das kartesische Produkt gemeint mit [mm] $\times$. [/mm] Wie ist es hier gemeint?
Diese "direkten Produkte" bereiten mir irgendwie immer Schwierigkeiten ich weiß auch nicht warum. Zum Beispiel auch bei sowas:
[mm] $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
[/mm]
Ich weiß das dies richtig ist. Habe da letztens auch ne Frage zu gestellt, weil ich mir nicht sicher war wie das [mm] $\times$ [/mm] zu interpretieren war.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Di 10.02.2015 | | Autor: | MacMath |
Der Unterschied liegt eher im Zeichen "isomorph" statt "gleich".
Denk darüber mal nach.
Das "x" ist schon das kartesische Produkt, mit komponentenweisen Gruppenoperationen (Es reicht ja nicht, nur die Mengen zu betrachten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Tut mir leid, aber ich kann mit mit dieser Frage leider wenig anfangen. :(
Ich weiß nicht warum es falsch ist. Es macht für mich nur "intuitiv" keinen Sinn...
Warum kann ich auch nicht so recht erklären...
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Du rechnest doch schon seit ewigen Zeiten mit Vektorräumen wie [mm] $\IR/times\IR [/mm] $, in denen man einfach komponentenweise addiert (Vektoraddition). Es ist z.B. $(7,7)+(3,3)=(2,0) $ in [mm] $\IZ/8\times\IZ/10$. [/mm]
Der Satz, an den die Aufgabe erinnern möchte ist:
Ist $ G $ eine Gruppe, H, K Normalteiler mit $ HK=G $ und $ [mm] H\cap [/mm] K=1$, so gilt $ [mm] G\cong H\times [/mm] K $, und ich glaube, den haben wir hier im Forum schon zusammen bewiesen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Ahhh... jetzt klingelt da was.
Also bewiesen haben wir diesen Satz nicht, du hast mir geholfen ihn anzuwenden, bzw. hatte ich da auch die Frage mit dem kartesischen Produkt, wenn ich mich recht erinnere.
:)
Ich werde mir den Beweis noch einmal ansehen. Dann sollte es klar werden.
Das die Aussage falsch ist liegt dann natürlich daran, dass HK=G nicht unbedingt gelten muss.
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> Das die Aussage falsch ist liegt dann natürlich daran,
> dass HK=G nicht unbedingt gelten muss.
Und dass in der Aufgabe nicht steht, dass $H,K$ Normalteiler sein müssen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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