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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | zu entscheiden ist, welche algebraische Struktur durch die folgenden Paare [mm] (M,\*) [/mm] gebildet wird:
a) [mm] M=\{0,1,...,11\} [/mm] und [mm] a\*b:=a*b [/mm] (mod 12)
b) [mm] M=\IZ [/mm] und [mm] a\*b:=a*b-1 [/mm] |
Hallo an alle,
erstmal habe ich eine allgemeine Frage bzgl. des Unterschieds zu Gruppen und Monoiden:
Ein Monoid ist ja definiert durch eine assoziative Verknüpfung und das neutrale Element e.
Ich weiß dass z.b. bei den natürlichen Zahlen die 0 das neutrale Element ist und bei den rationalen Zahlen, ohne die 0, die 1 das neutrale Element ist. Was kann noch das neutrale Element sein? Gibt es da eine Definition? Wenn ich es bestimmen sollte, könnte ich es denke ich nicht.
Genauso wie die assoziative Verknüpfung z.B. bei den natürlichen Zahlen die Addition ist. Ich sehe, dass die Addition eine assoziative Verknüpfung ist, aber nicht wieso sie zu den natürlichen Zahlen gehört.
Kann mir jemand ein anderes Beispiel für eine assoziative Verknüpfung nennen? Diese würde ich bei anderen Operationen genauso wenig erkennen 
Gruppen sind ja Monoide, bei denen zu jedem [mm] a\inM [/mm] ein [mm] b\inM [/mm] mit [mm] b\*a=e [/mm] existiert.
Woran erkenne ich dieses Kriterium, hat jemand wieder ein Beispiel für mich?
Wir ihr seht, habe ich das Thema noch nicht komplett verstanden, wenn jemand die Zeit hat es mir zu erklären würde ich mich freuen
Vielleicht verstehe ich ja dann auch die Aufgaben besser. Ich verstehe nämlich nichtmal wirklich, was mit [mm] a\*b:=a*b [/mm] (mod 12) gemeint ist und wie ich es errechnen kann, ob diese Struktur ein Monoid oder eine Gruppe ist.
Vielen Dank im Voraus, Paula.
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Hey paula,
Bevor du diese Aufgaben bearbeiten kannst musst du erstmal verstehen, was eine Gruppe genau ist.
Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen, auf denen eine Verknüpfung definiert ist.
Ich weiß das klingt jetzt nicht wie etwas was man sofort versteht, deshalb erstmal ein Beispiel:
(G,+): G = {a,b}, + := a+a = b+b = a, a+b = b+a = b
Ich habe hier eine Menge G, die die zwei Elemente a und b enthält, sowie eine Verknüpfung darauf, die ich "+" genannt habe.
Da ich nur 2 Elemente habe gibt es ja nur 4 verschiedene Möglichkeiten für die Addition, also hab ich sie einfach alle aufgezählt und dadurch ist die Addition definiert.
Das gleiche hast du auch in deinen Aufgaben.
Deine Menge heißt jetzt M, die Verknüpfung heißt *.
Im ersten Fall ist M die Menge der ganzen Zahlen von 0 bis 11.
Die Verknüpfung ist definiert als: a*b := a [mm]\cdot[/mm] b (mod 12)
Hier hätte man natürlich auch, wie oben, alle Fälle aufzählen können, aber bei 12 Elementen in der Menge wäre das schon eine ganz schöne Arbeit geworden.^^
Deshalb wurde das ganze auf die bereits bekannte Multiplikation der ganzen Zahlen mod 12 zurückgeführt.
Das heißt zwei Elemente aus der Menge multiplizierst du "ganz normal", teilst dann das Ergebnis durch 12 und betrachtest den Rest.
Also zum Beispiel 3*6 = 3 [mm]\cdot[/mm] 6 mod 12 = 18 mod 12 = 6
Jetzt ist die Frage gestellt, um was für eine algebraische Struktur es sich handelt.
Dafür würde ich dir folgenden Link empfehlen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Gruppenaxiome.html
Hier stehen ein paar Bedingungen, die sogenannten Axiome.
Diese müssen dein (M,*) erfüllen, damit man von einer Gruppe oder ähnlichem sprechen kann.
Das ganze ist von oben nach unten durch zu lesen, also ist das erste erfüllt haben wir einen Gruppoid, sind die ersten beiden erfüllt eine Halbgruppe,..., sind alle 5 erfüllt eine abelsche Gruppe.
Nun bleibt dir wohl nichts anderes übrig, als diese Liste durchzuarbeiten bis du auf ein Axiom stößt, das verletzt ist.
Da du ja auch noch was machen sollst nehm ich als Beispiel mal [mm](\IN_0,+)[/mm], die natürlichen Zahlen mit der 0 und die "normale" Addition.
Das erste Axiom fordert, dass ich immer ein Ergebnis kriege und dass es auch in der Menge liegt.
Also für alle a,b [mm]\in \IN_0[/mm] gilt: [mm]a+b \in \IN_0[/mm]
Dass man mit dieser Addition nie außerhalb der natürlichen Zahlen landet dürfte höffentlich klar sein (denn es zu beweisen ist garnicht so leicht ohne [mm]\IN[/mm] sauber zu definieren^^).
Also ist [mm](\IN_0,+)[/mm] auf jeden Fall schonmal ein Gruppoid.
Assoziativität sollte auch bekannt sein, dass diese für die Addition in [mm]\IN_0[/mm] gilt.
Mit der Frage des neutralen Elementes haben wir Glück, denn es gibt eins.
Dann können wir es einfach nennen, die 0.
Denn a+0 = 0+a = a für alle a [mm]\in \IN_0[/mm]
Wir haben also jetzt schon einen Monoid.
Als nächstes ist nach inversen Elementen gefragt.
Da nehmen wir uns einfach die 1.
Wir wissen, dass 1 + (-1) = 0 und wir wissen bereits, dass 0 unser neutrales Element ist.
Also ist -1 das inverse Element zur 1, dieses liegt aber nicht in [mm]\IN_0[/mm].
Somit ist dieses Axiom verletzt, [mm](\IN_0,+)[/mm] ist also keine Gruppe sondern nur ein Monoid.
(Anmerkung: Wir könnten auch sagen, dass unsere Menge ein Gruppoid, eine Halbgruppe und ein Monoid ist. Aber da alle Monoiden Gruppoiden und Halbgruppen sind spart man sich das.^^).
Als weiteres Beispiel könnte man ([mm]\IZ[/mm],+) nehmen, die ganzen Zahlen mit der normalen Addition.
Dies ist sogar eine abelsche Gruppe (kannst du glauben oder nachrechnen).
Nun zurück zu deinen Fragen:
Mir ist nicht ganz klar was du damit meinst, dass "die Addition zu den natürlichen Zahlen gehört".
Es ist eine Verknüpfung und sie wird des öfteren benutzt, aber das heißt nicht, dass die beiden immer zwangsweise zusammengehören.
Natürlich ist [mm](\IN_0,+)[/mm] wie oben bereits gezeigt ein Monoid, also schonmal nicht schlecht.
Man könnte aber auch ([mm]\IN[/mm],#) haben und # als eine beliebige Verknüpfung definieren.
Also zur Menge gehört immer genau die Verknüpfung, die da mit in den Klammern steht.^^
Um zu errechnen, ob deine Strukturen nun Gruppen oder was auch immer sind wird dir nichts anderes übrig bleiben als die Axiome nachzurechnen, bis du auf eines stößt das verletzt ist (dann nenn das Gegenbeisipel).
Vor allem bei der zweiten Menge, die ja unendlich ist, solltest du es dringend vermeiden für jedes Element einzeln nachzurechnen, sonst bist du nämlich einige Zeit beschäftigt.^^
Also führe es auf bekanntes zurück, zum Beispiel weißt du, dass die "normale" Multiplikation in [mm]\IZ[/mm] assoziativ und kommutativ ist.
Da die Verknüpfung * ja auf dieser normalen Multiplikation aufbaut kannst du diese Eigenschaften - wenn du es geschickt anstellst - übertragen.
Also, ich hoffe ich konnte dir etwas helfen.
Falls es noch Probleme bei den Aufgaben gibt einfach fragen. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 15.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank, das war mehr als ausreichend
Jetzt habe ich auch verstanden, was die einzelnen Axiome bzgl. der algebraischen Strukturen wirklich aussagen.
Viele Grüße Paula!!!
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