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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 26.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
| Aufgabe | | Finden sie alle a [mm]\in \IZ_7[/mm], für die [mm] a^9 [/mm] = a (mod 7), bzw. a^19 = a (mod 7) gilt. |
Da 7 eine Primzahl ist, würde ich vermuten, dass nur die Zahlen 1 und 7 für a eingesetzt werden können, oder muss ich da noch was mit Primfaktorzerlegung machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
ich glaube, dass du dir das vom Prinzip her richtig gedacht hast. Nur 7 liegt leider nicht in [mm] \IZ_7 [/mm] ...
Wie genau soll die Begründung sein? Wenn es ausreicht, die Eigenschaft zu verwenden, dass [mm] (\IZ/n\IZ,*) [/mm] für n prim zyklisch ist, dann reicht deine Argumentation sicherlich aus, bis auf die 7 eben. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 26.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
Stimmt, hab ganz vergessen, geht ja nur von 0 bis 6...
Das heißt, es könnte theoretisch nur die 1 sein, ja?
Naja ich sag mal so, die Aufgabe hat nichts weiter hergegeben, dass man das mit irgendwelchen anderen Axiomen beweisen soll...
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Hallo,
die 0 und die 6.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 26.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
Hallo, [mm] 0^9 [/mm] ist doch aber nicht 0 sondern 1 und damit auch ungleich 0 mod 7 oder?
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Hallo,
> [mm]0^9[/mm] ist doch aber nicht 0 sondern 1...
Sicher?
[mm] 0^9=0*0*0*0*0*0*0*0*0
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 27.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
ups -.-' Hab das mit [mm] x^0 [/mm] verwechselt... ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Di 26.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Stimmt, hab ganz vergessen, geht ja nur von 0 bis 6...
> Das heißt, es könnte theoretisch nur die 1 sein, ja?
> Naja ich sag mal so, die Aufgabe hat nichts weiter
> hergegeben, dass man das mit irgendwelchen anderen Axiomen
> beweisen soll...
Kennst du den kleinen Satz von Fermat bzw. den Satz von Euler? Wenn man den hier benutzt, spart man sich einiges an Rechenaufwand.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Mi 27.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
Ja den kenne ich, also [mm] a^{\varphi(n)} [/mm] mod n = 1, wenn a zu n teilerfremd ist, richtig?
Was hat das aber mit der 9 zutun? [mm] \varphi(n) [/mm] kann ja nicht größer als n sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Mi 27.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja den kenne ich, also [mm]a^{\varphi(n)}[/mm] mod n = 1, wenn a zu
> n teilerfremd ist, richtig?
Genau. Und [mm] $a^{\varphi(n) + 1} \equiv [/mm] a [mm] \mod{n}$. [/mm] Und diese Gleichung gilt auch, falls $a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{n}$ [/mm] ist.
> Was hat das aber mit der 9 zutun? [mm]\varphi(n)[/mm] kann ja nicht
> größer als n sein, oder?
Es ist [mm] $\varphi(7) [/mm] = 6$, womit modulo 7 gilt [mm] $a^9 \equiv a^7 \cdot a^2 \equiv [/mm] a [mm] \cdot a^2 \equiv a^3 \pmod{7}$.
[/mm]
Jetzt hast du also einen viel kleineren Exponenten! Und wenn du das umformst zu $a [mm] (a^2 [/mm] - 1) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{7}$, [/mm] siehst du schnell, dass $a [mm] \equiv [/mm] 0$ in Frage kommt oder halt $a [mm] \equiv [/mm] 1$, $a [mm] \equiv [/mm] -1$. Also sind die Loesungen von [mm] $a^9 \equiv [/mm] a [mm] \pmod{7}$ [/mm] gerade 0, 1, 6.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 27.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
Ich merke gerade, dass ich wahrscheinlich intensive Mathenachhilfe benötige -.-
Es ist $ [mm] \varphi(7) [/mm] = 6 $, womit modulo 7 gilt $ [mm] a^9 \equiv a^7 \cdot a^2 \equiv [/mm] a [mm] \cdot a^2 \equiv a^3 \pmod{7} [/mm] $.
Die ganze Zeile ist mir komplett unverständlich - warum gilt [mm] a^9 [/mm] = [mm] a^7 [/mm] * [mm] a^2, [/mm] nur weil [mm] \varphi(7)=6 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 27.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich merke gerade, dass ich wahrscheinlich intensive
> Mathenachhilfe benötige -.-
>
> Es ist [mm]\varphi(7) = 6 [/mm], womit modulo 7 gilt [mm]a^9 \equiv a^7 \cdot a^2 \equiv a \cdot a^2 \equiv a^3 \pmod{7} [/mm].
>
> Die ganze Zeile ist mir komplett unverständlich - warum
> gilt [mm]a^9[/mm] = [mm]a^7[/mm] * [mm]a^2,[/mm] nur weil [mm]\varphi(7)=6[/mm] ?
Nein, das ist eine ganz normale Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Potenzgesetze, da $2 + 7 = 9$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 27.07.2011 | | Autor: | taiBsu |
Ja, so weit bin ich hintergestiegen, aber wo bekomme ich denn aus [mm] a^3 [/mm] = 0 irgendwo her, dass die 6 dazu gehört? Hilfe :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mi 27.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast doch nicht [mm] a^3=0 [/mm] mod 7 sondern [mm] a^3=a [/mm] mod7 und da hast du die Lösungen -1.0,1 mit [mm] -1\equiv [/mm] 6
jetzt nimm dir die 19 vor.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 26.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Diophant,
> ich glaube, dass du dir das vom Prinzip her richtig gedacht
> hast. Nur 7 liegt leider nicht in [mm]\IZ_7[/mm] ...
das haengt ganz davon ab, wie man [mm] $\IZ_7$ [/mm] definiert. Wenn man es als Menge [mm] $\{ 0, 1, \dots, 6 \}$ [/mm] definiert (mit Modulo-Operationen) hast du Recht. Wenn man es als [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] definiert und die Zahlen als Restklassen auffasst, dann ist 7 (bzw. die Restklasse davon) sehr wohl ein Element von [mm] $\IZ_7$, [/mm] welches gleich 0 (bzw. der Restklasse davon) ist.
> Wie genau soll die Begründung sein? Wenn es ausreicht, die
> Eigenschaft zu verwenden, dass $ [mm] (\IZ/n\IZ,\cdot{}) [/mm] $ für n
> prim zyklisch ist,
Du meinst [mm] $\IZ/n\IZ \setminus \{ 0 + n\IZ \}$ [/mm] zusammen mit der Multiplikation 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Felix,
da habe ich mich wohl insgesamt etwas verhauen. Auf die 6 hätte ich eigentlich auch kommen können...
Vielen Dank auf jeden Fall, dass du meine nicht ganz zielführenden Tipps richtig gestellt hast.
Gruß, Diophant
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