Gruppenaktion und Hausd. Raum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Do 17.02.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo,
Ich habe in einem Text folgendes gelesen:
Sei X eine Mannigfaltigkeit und G eine Gruppe, die auf X "frei" und "properly discontinuous" wirkt, s.d. der Quotientenraum X/G ein Hausdorff Raum ist.
Also ich habe versucht zu folgern, dass der Quotientenraum X/G ein Hausdorff Raum sein muss, falls G "frei" und "prop. disc." auf X wirkt. Leider ohne Erfolg.
Weis jemand vielleicht, ob das überhaupt gilt?
Oder ist die Aussage vielmehr so zu verstehen, dass wir annehmen, der Quotientenraum sei Hausdorff.?
Also "frei" bedeutet hier einfach g*x=x <=> g=e
und prop. disc.: [mm] \forall x\exist [/mm] V [mm] \subset [/mm] X ,s.d. [mm] gV\cap g'V=\emptyset
[/mm]
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 17.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe in einem Text folgendes gelesen:
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> Sei X eine Mannigfaltigkeit und G eine Gruppe, die auf X
> "frei" und "properly discontinuous" wirkt, s.d. der
> Quotientenraum X/G ein Hausdorff Raum ist.
Das "s.d." (so dass?) solltest du durch "dann ist" ersetzen (und den Satz entsprechend umstellen).
> Also ich habe versucht zu folgern, dass der Quotientenraum
> X/G ein Hausdorff Raum sein muss, falls G "frei" und "prop.
> disc." auf X wirkt. Leider ohne Erfolg.
> Weis jemand vielleicht, ob das überhaupt gilt?
Ja, das gilt.
Der Quotient hat sogar die Struktur einer Mannigfaltigkeit, und die Projektion ist ein Homomorphismus von Mannigfaltigkeiten.
> Oder ist die Aussage vielmehr so zu verstehen, dass wir
> annehmen, der Quotientenraum sei Hausdorff.?
>
> Also "frei" bedeutet hier einfach g*x=x <=> g=e
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und prop. disc.: [mm]\forall x\exist[/mm] V [mm]\subset[/mm] X ,s.d. [mm]gV\cap g'V=\emptyset[/mm]
Nicht ganz. Einmal muss $V$ eine Umgebung von $x$ sein (das steht da nicht), und $g V [mm] \cap [/mm] g' V = [mm] \emptset$ [/mm] muss nur fuer $g [mm] \neq [/mm] g'$ gelten (ansonsten geht das ja gar nicht!).
(Daraus folgt uebrigens bereits, dass die Gruppenoperation frei ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 17.02.2011 | | Autor: | Braten |
Hallo felix,
vielen Dank. Du hast natürlich recht, ich hätte sauberer formulieren müssen.
Plötzlich sehe ich warum der Quotientenraum Hausdorff ist.  Danke!
Du sagst die projektion sei ein homöomorphismus( das meint man doch mit hom. zw. mannigf)? Also ich sehe, dass man eine offene überdeckung [mm] U_i [/mm] von X findet, so dass [mm] p_{|U_i} [/mm] injektiv ist.
Aber warum ist diese Abbildung homöomorph? warum ist z.B. die umkehrabbildung überhaupt stetig?
Gruß
Braten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Do 17.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Braten,
> vielen Dank. Du hast natürlich recht, ich hätte sauberer
> formulieren müssen.
> Plötzlich sehe ich warum der Quotientenraum Hausdorff ist.
> Danke!
>
> Du sagst die projektion sei ein homöomorphismus( das meint
> man doch mit hom. zw. mannigf)?
nein, ein Homoemorphismus ist insbesondere bijektiv. Das sind die Automorphismen von (topologischen) Mannigfaltigkeiten. Homomorphismen sind einfach stetige Abbildungen.
(Wenn du nicht topologische Mannigfaltigkeiten betrachtest, sondern etwa x-mal diffbare Mannigfaltigkeiten oder komplexe Mannigfaltigkeiten, dann musst du "stetig" durch "x-mal diffbar" oder "komplex diffbar" ersetzen.)
> Also ich sehe, dass man
> eine offene überdeckung [mm]U_i[/mm] von X findet, so dass [mm]p_{|U_i}[/mm]
> injektiv ist.
Ja, aber global gesehen ist es eben nicht injektiv.
> Aber warum ist diese Abbildung homöomorph? warum ist z.B.
> die umkehrabbildung überhaupt stetig?
Es gibt keine Umkehrabbildung, da die Abbildung nicht injektiv ist.
LG Felix
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