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Hi,
ich habe eine Aufgabe, und zwar soll ich feststellen, ob
[mm]a\circ b=\bruch{a*b}{a+b}[/mm]
assoziativ ist und ob es Inverse hat. Damit wären 2 Vorraussetzungen von Gruppen erfüllt.
[mm]\left(a\circ b\right)\circ c=\bruch{a*b}{a+b}\circ c=\bruch{\bruch{a*b}{a+b}*c}{\bruch{a*b}{a+b}+c}=\bruch{abc}{a+b}*\bruch{a+b}{ab+c}=\bruch{abc}{ab+c}
a \circ \left(b\circ c\right)=a\circ \bruch{bc}{b+c}=\bruch{a*\bruch{bc}{b+c}}{a+\bruch{bc}{b+c}}=\bruch{abc}{b+c}*\bruch{b+c}{a+bc}=\bruch{abc}{a+bc}[/mm]
Hab ich da einen Fehler drin, oder passt das?
Demnach ist das Teil nicht assoziativ.
Inverses:(ich beginne mit dem neutralen Element!)
[mm] \begin{matrix}
a\circ e&=& a \\
\bruch{ae}{a+e} & =& a\\
ae&=&a*\left(a+e\right)\\
ae&=&a^2+ae\\
0&=&a^2
\end{matrix}[/mm]
Somit dürfte es auch kein inverses Element geben, da es kein neutrales Element gibt.
Freue mich auf Tipps oder Verbesserungen ;)
mfg, Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hi,
> ich habe eine Aufgabe, und zwar soll ich feststellen, ob
>
> [mm]a\circ b=\bruch{a*b}{a+b}[/mm]
>
> assoziativ ist und ob es Inverse hat. Damit wären 2
> Vorraussetzungen von Gruppen erfüllt.
>
> [mm]\left(a\circ b\right)\circ c=\bruch{a*b}{a+b}\circ c=\bruch{\bruch{a*b}{a+b}*c}{\bruch{a*b}{a+b}+c}=\bruch{abc}{a+b}*\bruch{a+b}{ab+c}=\bruch{abc}{ab+c}
a \circ \left(b\circ c\right)=a\circ \bruch{bc}{b+c}=\bruch{a*\bruch{bc}{b+c}}{a+\bruch{bc}{b+c}}=\bruch{abc}{b+c}*\bruch{b+c}{a+bc}=\bruch{abc}{a+bc}[/mm]
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> Hab ich da einen Fehler drin, oder passt das?
Ich lobe Dich, denn Du machst das schön ausführlich! Aber trotzdem hat sich dort ein Fehler eingeschlichen. Das dritte Gleichheitszeichen stimmt nicht, da Du den Eintrag im Nenner gleichnahmig machen musst, ehe Du mit dem Kehrwert multiplizierst. Daher korrigiere ich Dich:
[mm] $\left(a\circ b\right)\circ c=\bruch{a\cdot b}{a+b}\circ c=\bruch{\bruch{a\cdot b}{a+b}\cdot c}{\bruch{a\cdot b}{a+b}+c}=\bruch{\bruch{a\cdot b\cdot c}{a+b}}{\bruch{a\cdot b+(a+b)\cdot c}{a+b}}=\bruch{a\cdot b\cdot c}{a+b}\cdot\bruch{a+b}{a\cdot b+(a+b)\cdot c}=\bruch{a\cdot b\cdot c}{a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c}$
[/mm]
$a [mm] \circ \left(b\circ c\right)=a\circ \bruch{b\cdot c}{b+c}=\bruch{a\cdot\bruch{b\cdot c}{b+c}}{a+\bruch{b\cdot c}{b+c}}=\frac{\frac{a\cdot b\cdot c}{b+c}}{\frac{a(b+c)+bc}{b+c}}=\frac{a\cdot b\cdot c}{b+c}\cdot\frac{b+c}{a\cdot (b+c)+bc}=\frac{a\cdot b\cdot c}{a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c}$
[/mm]
> Demnach ist das Teil nicht assoziativ.
Falsch, nun ist es doch assoziativ.
> Inverses:(ich beginne mit dem neutralen Element!)
> [mm] \begin{matrix}
a\circ e&=& a \\
\bruch{ae}{a+e} & =& a\\
ae&=&a*\left(a+e\right)\\
ae&=&a^2+ae\\
0&=&a^2
\end{matrix}[/mm]
Okay, das ist eine Möglichkeit. In der Tat gibt es daher kein neutrales Element.
> Somit dürfte es auch kein inverses Element geben, da es
> kein neutrales Element gibt.
Das sehe ich genauso.
>
> Freue mich auf Tipps oder Verbesserungen ;)
>
> mfg, Michael
>
Gruß
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