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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Do 13.11.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und g ein Element aus G und [mm] K_g [/mm] : G [mm] \to [/mm] G mit [mm] K_g [/mm] (x) = gxg^-1 eine Abbildung von G in G.
(a) Weisen Sie nach: [mm] K_g [/mm] ist ein Homomorphismus von G in sich.
(b) Weisen sie nach: [mm] \forall [/mm] g, h [mm] \varepsilon [/mm] G gilt: [mm] K_g \circ K_h [/mm] = K_gh .
(c) Wann ist [mm] K_g [/mm] = id ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
zu (a)
Es ist ein Homomorphismus [mm] \gdw \alpha [/mm] (xy) = [mm] \alpha [/mm] (x) [mm] \alpha(y) \forall [/mm] x,y [mm] \varepsilon [/mm] G
(g [mm] \times [/mm] x [mm] \times [/mm] y [mm] \times [/mm] g^-1) = (g [mm] \times [/mm] x [mm] \times [/mm] g^-1) [mm] \times [/mm] (g [mm] \times [/mm] y [mm] \times [/mm] g^-1)
g [mm] \times [/mm] x [mm] \times [/mm] y [mm] \times [/mm] g^-1 = (g [mm] \times [/mm] x [mm] \times [/mm] g^-1 [mm] \times [/mm] g [mm] \times [/mm] y [mm] \times [/mm] g^-1)
gxyg^-1 = gxyg^-1
zu (b)
[mm] \forall [/mm] g,h [mm] \varepsilon [/mm] G gilt: [mm] K_g \circ K_h [/mm] = K_gh
[mm] K_g(x) [/mm] = gxg^-1
[mm] K_h(x) [/mm] = hxh^-1
K_gh(x) = ghxg^-1h^-1
(gxg^-1) [mm] \circ [/mm] (hxh^-1) = ghxg^-1h^-1
....
(a) denke ich ist richtig, stimmt das? (b) komme ich nicht weiter, könntet ihr mir da helfen? (c) fällt mir nichts ein, auch da bräuchte ich Hilfe..
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Hallo Dash,
> Sei G eine Gruppe und g ein Element aus G und [mm]K_g[/mm] : G [mm]\to[/mm] G
> mit [mm]K_g[/mm] (x) = gxg^-1 eine Abbildung von G in G.
>
> (a) Weisen Sie nach: [mm]K_g[/mm] ist ein Homomorphismus von G in
> sich.
>
> (b) Weisen sie nach: [mm]\forall[/mm] g, h [mm]\varepsilon[/mm] G gilt: [mm]K_g \circ K_h[/mm]
> = K_gh .
>
> (c) Wann ist [mm]K_g[/mm] = id ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> zu (a)
>
> Es ist ein Homomorphismus [mm]\gdw \alpha[/mm] (xy) = [mm]\alpha[/mm] (x)
> [mm]\alpha(y) \forall[/mm] x,y [mm]\varepsilon[/mm] G
>
> (g [mm]\times[/mm] x [mm]\times[/mm] y [mm]\times[/mm] g^-1) = (g [mm]\times[/mm] x [mm]\times[/mm]
> g^-1) [mm]\times[/mm] (g [mm]\times[/mm] y [mm]\times[/mm] g^-1)
>
> g [mm]\times[/mm] x [mm]\times[/mm] y [mm]\times[/mm] g^-1 = (g [mm]\times[/mm] x [mm]\times[/mm] g^-1
> [mm]\times[/mm] g [mm]\times[/mm] y [mm]\times[/mm] g^-1)
>
> gxyg^-1 = gxyg^-1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
das stimmt, ist aber ziemlich unübersichtlich, außerdem heißt doch die Abbildung [mm] $K_g$ [/mm] 
Beh.: [mm] $K_g(xy)=K_g(x)K_g(y)$ [/mm] für alle [mm] $g,h,x,y\in [/mm] G$
Bew. Seien [mm] $g,h,x,y\in [/mm] G$, dann ist
[mm] $K_g(xy)=g(xy)g^{-1}=gxeyg^{-1}=gx(g^{-1}g)yg^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=K_g(x)K_g(y)$
[/mm]
so ist's schön
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> zu (b)
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> [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\varepsilon[/mm] G gilt: [mm]K_g \circ K_h[/mm] = K_gh
>
> [mm]K_g(x)[/mm] = gxg^-1
> [mm]K_h(x)[/mm] = hxh^-1
> K_gh(x) = ghxg^-1h^-1
>
> (gxg^-1) [mm]\circ[/mm] (hxh^-1) = ghxg^-1h^-1
>
> ....
>
>
> (a) denke ich ist richtig, stimmt das? (b) komme ich nicht
> weiter, könntet ihr mir da helfen?
Schreibe sorgfältiger auf, was zu zeigen ist, dann ist das ein Selbstläufer
Beh. [mm] $K_g\circ K_h=K_{gh}$ [/mm] für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$
Bew. zz: [mm] $(K_g\circ K_h)(x)=K_{gh}(x)$ [/mm] für alle [mm] $g,h,x\in [/mm] G$
Also seine [mm] $g,h,x\in [/mm] G$ beliebig, dann ist
[mm] $(K_g\circ K_h)(x)=K_g(K_h(x))=K_g(hxh^{-1})=g(hxh^{-1})g^{-1}=(gh)x(h^{-1}g^{-1})=(gh)x(gh)^{-1}=K_{gh}(x)$
[/mm]
denn [mm] $(gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}$
[/mm]
> (c) fällt mir nichts
> ein, auch da bräuchte ich Hilfe..
[mm] $K_g=id\gdw K_g(x)=x$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] G$
Ausgeschrieben: [mm] $gxg^{-1}=x$
[/mm]
Nun multipliziere diese Gleichung mal mit g von rechts ...
LG
schachuzipus
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