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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Mi 27.10.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeige, dass die Matrizen in der Form
[mm] \begin{pmatrix}
1 & a & b \\
0 & 1 & c \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, [/mm] $a, b, c [mm] \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ [/mm] eine Gruppe $G$ bilden, in der jedes Element die Ordnung 3 besitzt. Bestimme möglichst viele Untergruppen von $G$. |
Ich habe mit dem Nachweis der Gruppenaxiome angefangen, jedoch festgestellt, dass dies sehr mühsam ist. Dabei habe ich versucht durch einen Denkansatz zu begründen, warum es sich hier um eine Gruppe handeln muss, bin aber nicht weiter gekommen.
Meine Frage lautet nun, wie ich hier ohne den Nachweis aller Gruppenaxiome feststellen kann um welche Gruppe es sich handelt und außerdem verstehe ich nicht, wie ich allgemein beweisen soll, dass die Ordnung 3 erhalten bleibt, beim Nachweis der Axiome. Ich erhalte ja dann immerhin eine Kombination aus den Variablen a, b und c...
Würde mich über Hinweise freuen!
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Hallo Clemens,
> Zeige, dass die Matrizen in der Form
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & a & b \\
0 & 1 & c \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix},[/mm]
> [mm]a, b, c \in \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/mm] eine Gruppe [mm]G[/mm] bilden, in
> der jedes Element die Ordnung 3 besitzt. Bestimme
> möglichst viele Untergruppen von [mm]G[/mm].
> Ich habe mit dem Nachweis der Gruppenaxiome angefangen,
> jedoch festgestellt, dass dies sehr mühsam ist. Dabei habe
> ich versucht durch einen Denkansatz zu begründen, warum es
> sich hier um eine Gruppe handeln muss, bin aber nicht
> weiter gekommen.
> Meine Frage lautet nun, wie ich hier ohne den Nachweis
> aller Gruppenaxiome feststellen kann um welche Gruppe es
> sich handelt und außerdem verstehe ich nicht, wie ich
> allgemein beweisen soll, dass die Ordnung 3 erhalten
> bleibt, beim Nachweis der Axiome. Ich erhalte ja dann
> immerhin eine Kombination aus den Variablen a, b und c...
> Würde mich über Hinweise freuen!
[mm]\IZ/3\IZ[/mm] ist ein Körper, außerdem sind die Diagonalelemente von 0 verschieden.
Damit sind die (oberen) Dreiecksmatrizen dieses Typs invertierbar.
Zeige also, dass die Menge all dieser Matrizen eine Untergruppe von [mm]Gl_3(\IZ/3\IZ)[/mm] ist.
Da ist ja nicht viel zu tun ...
Mache das mal, die Ordungsgeschichte schauen wir nachher mal an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Do 28.10.2010 | | Autor: | clemenum |
Hallo!
Entschuldige bitte, dass meine Antwort so lange braucht, ich bin bis jetzt noch nicht dazugekommen, weil ich hier gestern nachts nicht mehr hineingeschaut habe, nachdem ich die Frage gepostet hatte.
Ich habe den Nachweis der Untergruppeneigenschaft mithilfe des 2. Untergruppenkriteriums $a, b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ab [mm] \in [/mm] U$ erbracht und erhalte als Matrix nun [mm] \begin{pmatrix}
1 & a_2+ a_1 & b_2+ a_1c_2 + b_1 \\
0 & 1 & c_2+ c_1 \\
o & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Und diese Matrix liegt wieder in $U$. Das müsste doch für einen Untergruppennachweis ausreichen!?
Ok, ich habe mir dies auch in kurzer Weise mit der Ordnung angesehen. Wenn ich hier Zahlen aus [mm] $\mathbb{Z}_3$ [/mm] einsetze, dann erhalte ich wieder Zahlen uas [mm] $\mathbb{Z}_3$ [/mm] und dieses Einsetzen gelingt hier doch schnell genug.
Kann ich nun so vorgehen oder übersehe ich etwas wesentliches?
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> Ich habe den Nachweis der Untergruppeneigenschaft mithilfe
> des 2. Untergruppenkriteriums [mm]a, b \in U \Rightarrow ab \in U[/mm]
> erbracht und erhalte als Matrix nun [mm]\begin{pmatrix} 1 & a_2+ a_1 & b_2+ a_1c_2 + b_1 \\
0 & 1 & c_2+ c_1 \\
o & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Und diese Matrix liegt wieder in [mm]U[/mm].
Hallo,
ich würde hier als Begründung vielleicht noch erwähnen, daß die vorkommenden Summen in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] liegen.
> Das müsste doch für
> einen Untergruppennachweis ausreichen!?
Die andere Bedingung hast Du schon gezeigt?
>
> Ok, ich habe mir dies auch in kurzer Weise mit der Ordnung
> angesehen. Wenn ich hier Zahlen aus [mm]\mathbb{Z}_3[/mm] einsetze,
> dann erhalte ich wieder Zahlen uas [mm]\mathbb{Z}_3[/mm] und dieses
> Einsetzen gelingt hier doch schnell genug.
Verstehe ich gerade nicht.
(Weißt Du, was die Ordnung eines Gruppenelementes ist? Wie das definiert ist?)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 28.10.2010 | | Autor: | clemenum |
Die Ordnung eines Gruppelements ist einfach die kleinste natürliche Zahl $k$, für die [mm] $g^k=e$ [/mm] ergibt, existiert nicht so eine kleinste Zahl, so sagt man, die Ordnung sei unendlich.
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> Die Ordnung eines Gruppelements ist einfach die kleinste
> natürliche Zahl [mm]k[/mm], für die [mm]g^k=e[/mm] ergibt, existiert nicht
> so eine kleinste Zahl, so sagt man, die Ordnung sei
> unendlich.
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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