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Ich versuche mittlerweile seit 2 Semestern den Homomorphiesatz (für Gruppen) zu verstehen und ich glaube ich hatte gerade einen Geistesblitz.
Wenn man das ganze mal in einfacher Sprache formuliert, sagt dann der Homomorphiesatz folgendes? :
Ich hab eine Abbildung von einer Menge $M$ in eine Menge $N$, und diese Abbildung kann ich auch einfach als Hintereinanderausführung 2er Abbildungen verstehen, wobei die erste Abbildung [mm] $v_f$ [/mm] genannt, auf die Äquivalenzklassen bzgl Bildgleichheit abbildet. und die 2. Abbildung [mm] $\hat{f}$ [/mm] genannt, dann die Äquivalenzklassen auf ihr jeweiliges Bild abbilden.
Also zum Beispiel definiere ich mir eine Abbildung $f$:
mit $M = {0,1,2,3,4}$
$N= {A,B}$
$f : M -> N$ mit
[mm] $f(m)=\begin{cases}
A & \mbox{für } m \mbox{ gerade} \\
B & \mbox{für } m \mbox{ ungerade}
\end{cases}
[/mm]
Dann sagt der Homomorphiesatz (für Gruppen): $f$ lässt sich auch darstellen durch
$f= [mm] \hat{f} \circ v_f$ [/mm] wobei die 2 Funktionen definiert sind als
[mm] $$v_f [/mm] : M [mm] \to [/mm] M / [mm] \sim_f$$
[/mm]
mit
[mm] $$f(m)=\begin{cases}
[0] & \mbox{für } m \mbox{ gerade} \\
[1] & \mbox{für } m \mbox{ ungerade}
\end{cases}$$
[/mm]
wobei $[0]$,$[1]$ Äquivalenzklassen bzgl Bildgleichheit sind, sowie
[mm] $$\hat{f} [/mm] : M / [mm] \sim_f \to [/mm] N$$
mit
[mm] $$f(m)=\begin{cases}
A & \mbox{für } m = [0] \\
B & \mbox{für } m = [1]
\end{cases}$$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Di 02.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich versuche mittlerweile seit 2 Semestern den
> Homomorphiesatz (für Gruppen) zu verstehen und ich glaube
> ich hatte gerade einen Geistesblitz.
>
> Wenn man das ganze mal in einfacher Sprache formuliert,
> sagt dann der Homomorphiesatz folgendes? :
ich vermute, du meinst den Homomorphiesatz fuer Mengen und nicht den fuer Gruppen? Aber laeuft ja beides auf das gleiche raus, es reicht das Prinzip zu verstehen :)
> Ich hab eine Abbildung von einer Menge [mm]M[/mm] in eine Menge [mm]N[/mm],
> und diese Abbildung kann ich auch einfach als
> Hintereinanderausführung 2er Abbildungen verstehen, wobei
> die erste Abbildung [mm]v_f[/mm] genannt, auf die Äquivalenzklassen
> bzgl Bildgleichheit abbildet. und die 2. Abbildung [mm]\hat{f}[/mm]
> genannt, dann die Äquivalenzklassen auf ihr jeweiliges
> Bild abbilden.
Genau.
> Also zum Beispiel definiere ich mir eine Abbildung [mm]f[/mm]:
> mit [mm]M = {0,1,2,3,4}[/mm]
> [mm]N= {A,B}[/mm]
> [mm]f : M -> N[/mm] mit
> [mm]$f(m)=\begin{cases}
A & \mbox{für } m \mbox{ gerade} \\
B & \mbox{für } m \mbox{ ungerade}
\end{cases}[/mm]
>
> Dann sagt der Homomorphiesatz (für Gruppen): [mm]f[/mm] lässt sich
> auch darstellen durch
> [mm]f= \hat{f} \circ v_f[/mm] wobei die 2 Funktionen definiert sind
> als
>
> [mm]v_f : M \to M / \sim_f[/mm]
> mit
> [mm][/mm][mm] f(m)=\begin{cases}
[0] & \mbox{für } m \mbox{ gerade} \\
[1] & \mbox{für } m \mbox{ ungerade}
\end{cases}[/mm][mm][/mm]
>
> wobei [mm][0][/mm],[mm][1][/mm] Äquivalenzklassen bzgl Bildgleichheit sind,
> sowie
> [mm]\hat{f} : M / \sim_f \to N[/mm]
> mit
> [mm][/mm][mm] f(m)=\begin{cases}
A & \mbox{für } m = [0] \\
B & \mbox{für } m = [1]
\end{cases}[/mm][mm][/mm]
Genau so ist es! :)
LG Felix
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