Gruppenhomomorphismen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | a) Finde alle Endomorphismen der Gruppe (Z/4Z,+). Welche davon sind Automorphismen?
b) Entscheide, ob die Abbildung [mm] \pi: (S_{6}, \circ) [/mm] -> (Z/6Z,+),
[mm] \pi [/mm] --> [mm] [\pi(6)] [/mm] ein Gruppenomomorphismus ist. |
Finde noch nicht einmal einen Ansatz, wäre nett, wenn ihr mir helft...
Bed. Homomor.: f(x•y) = f(x) * f(y),
Endomor.: (G,•)=(H,*)
Automor.: Endomor.+Isomor.(f bijektiv)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Mo 21.11.2011 | | Autor: | hippias |
Eine Moeglichkeit waere natuerlich saemtliche Abbildungen [mm] $\IZ_{4}\to \IZ_{4}$ [/mm] durchzugehen; wenn man bedenkt, dass die Null auf die Null abgebildet werden muss, und inverse Elemente auf inverse, dann gibt es wohl gar nicht sooo viele Moeglichkeiten.
Nichts desto weniger wuerde ich die Struktur der Gruppe ausnutzen wollen: Welche besondere Eigenschaft haben die Faktorgruppen von [mm] $\IZ$? [/mm] Mache Dir klar, dass ein Homomorphismus eindeutig festgelegt ist, wenn Du sein Bild eines ganz speziellen Elementes von [mm] $\IZ_{4}$ [/mm] kennst; und dass dies auch rueckwaerts geht.
Daraus folgt, dass die Homomorphismen alle ganz einfache Gestalt haben, die Dir auch die Automorphismen offenbaren wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 22.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Bringt es bei a) etwas, sich eine Verknüpfungstabelle der 4 Restklassen von modulo4 hinzuschreiben:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Hat niemand eine Idee??
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Hallo,
hippias Tipp
> ein Homomorphismus eindeutig festgelegt ist, wenn Du sein Bild eines ganz speziellen Elementes von $ [mm] \IZ_{4} [/mm] $ kennst
bezieht sich darauf, dass die Gruppe [mm] \IZ/4\IZ [/mm] zyklisch ist. Nimm dir einen Erzeuger und durch dessen Bild ist der gesamte Homomorphismus festgelegt. Damit brauchst du nur noch wenige Möglichkeiten probieren.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht ganz... in Z/4Z gibt es doch nur [0],[1],[2] und [3] als Bilder...
Man betrachtet also Z/4Z-->Z/4Z und prüft, ob [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] Z/4Z gilt: f(x+y)=f(x)+f(y)
Aber dann hat man doch auch nur eine G-homomorphismus, es ist aber doch nach einen Endom. gefragt...
Kannst du oder jemand anders mir noch einen Tipp zu b) geben?
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> Ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht ganz... in Z/4Z gibt
> es doch nur [0],[1],[2] und [3] als Bilder...
> Man betrachtet also Z/4Z-->Z/4Z und prüft, ob [mm]\forall[/mm] x,y
> [mm]\in[/mm] Z/4Z gilt: f(x+y)=f(x)+f(y)
> Aber dann hat man doch auch nur eine G-homomorphismus, es
> ist aber doch nach einen Endom. gefragt...
Bei Gruppen sind Endomorphismen gerade Homomorphismen (![[]](/images/popup.gif) Link).
>
> Kannst du oder jemand anders mir noch einen Tipp zu b) geben?
Überprüfe einfach die Homomorphismeneigenschaft, d.h. ob für [mm] \sigma,\tau\in S_6 [/mm] gilt
[mm] \pi(\sigma\circ\tau)=\pi(\sigma)+\pi(\tau).
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Aber ich kann doch keine Transpositionen addieren, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht ganz... in Z/4Z gibt
> es doch nur [0],[1],[2] und [3] als Bilder...
> Man betrachtet also Z/4Z-->Z/4Z und prüft, ob x,y
> Z/4Z gilt: f(x+y)=f(x)+f(y)
Ist der Ansatz i-wie hilfreich, oder nutzlos?
Wenn zweiteres der fall ist, weiß ich ,trotz euerer Tipps, keinen richtigen Ansatz...
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> Ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht ganz... in Z/4Z gibt
> > es doch nur [0],[1],[2] und [3] als Bilder...
> > Man betrachtet also Z/4Z-->Z/4Z und prüft, ob x,y
> > Z/4Z gilt: f(x+y)=f(x)+f(y)
> Ist der Ansatz i-wie hilfreich, oder nutzlos?
> Wenn zweiteres der fall ist, weiß ich ,trotz euerer
> Tipps, keinen richtigen Ansatz...
Es ist [mm] 3+4\IZ [/mm] Erzeuger von [mm] \IZ/4\IZ, [/mm] also [mm] <3+4\IZ>=\IZ/4\IZ.
[/mm]
Wenn du einen Homomorphismus [mm] g:\IZ/4\IZ\to \IZ/4\IZ [/mm] hast, ist dieser durch das Bild [mm] g(3+4\IZ) [/mm] von [mm] 3+4\IZ [/mm] eindeutig bestimmt, denn aufgrund der Homomorphieeigenschaft gilt
[mm] $g(n(3+4\IZ))=n g(3+4\IZ)$, [/mm] n=0,1,2,3.
Nun, wie du bereits richtig bemerkt hast, kommen nur 4 Bilder für [mm] 3+4\IZ [/mm] in Frage. Untersuche noch die 4 dabei entstehenden Homomorphismen auf Bijektivität, d. h. ob es sich um Automorphismen handelt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
zu a) Ich verstehe nicht, welche 4 homomorphismen danei entstehen.
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> zu a) Ich verstehe nicht, welche 4 homomorphismen danei entstehen.
Wenn du einmal konkretere Fragen stellen würdest, könnte ich dir leichter helfen.
Ich in meinem letztem Post auf klare Weise angeben, wie man auf die 4 Homomorphismen kommt.
Noch ein letztes Mal: Hier ist Homomorphismus eindeutig festgelegt durch das Bild eines Erzeugers der additiven Gruppe [mm] \IZ/4\IZ, [/mm] zum Beispiel [mm] 3+4\IZ=[3].
[/mm]
Im letzten Post habe ich dir eine Berechnungsformel für die Bilder aller anderen Gruppenelemente angegeben, wenn das Bild des Erzeugers [3] bekannt ist.
Nimm zum Beispiel den Homomorphismus, der [3] auf [1] abbildet. Worauf werden dann [0],[1],[2] abgebildet?
usw.
LG
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du hast mir die Formel $ [mm] g(n(3+4\IZ))=n g(3+4\IZ) [/mm] $ gegeben.
g(3+4Z)=[3], da die [3] Bild des Erzeugers ist, oder?
soll ich dann n=0,1,2,3 mit [3] multiplizieren, oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 26.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Aber ich kann doch keine Transpositionen addieren, oder?
Nun denk mal ganz langsam nach.
Was macht die Abbildung [mm] \pi [/mm] ?
Dort werden keine Transpositionen addiert.
Du solltest dich noch einmal grundlegend mit den Definitionen beschäftigen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Angenommen, ich wollte ein Gegenbeispiel (weil ich weiß, dass es kein GHP ist  )bringen und nehme a=(61) und b=(62) aus [mm] S_{6}. [/mm] Dann müsste die Bedingung [mm] f(x\circ [/mm] y)=f(x)+f(y) doch erfüllt sein. bei b ist doch [mm] [\pi [/mm] (6)]=[2] und bei a entsprechend [1], [2]+[1]=[3].
Wenn das stimmt, wie geht's dann auf diesem weg weiter?
Wenn das falsch ist, wie kann man dann ein konkretes Gegenbeispiel bringen?
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Also bin mir nicht 100% sicher aber:
du wählst a,b [mm] \in S_{6} [/mm] mit
a = (16) und b = (26)
dann ist doch a°b = (162)
a°b [mm] \in S_{6} [/mm] mit a°b(6) = 2
also ist :
f(a°b)= [a°b(6)]=[2]
[mm] \not=
[/mm]
f(a)+f(b)=[a(6)]+[b(6)]=[1]+[2]=[3]
oder ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
woher weiß man denn, dass a [mm] \circ [/mm] b (6) = 2 ist?
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a°b = (162)
heißt:
a°b(1) = 6
a°b(2) = 1
a°b(3) = 3
a°b(4) = 4
a°b(5) = 5
a°b(6) = 2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Ah, ok. Dann , denke ich, ist die Begründung richtig. Danke!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:18 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Könntest du mir evtl noch bei der a) helfen?
Man betrachtet ja Z/4Z-->Z/4Z.
Und es muss gelten f(x+y)=f(x)+f(y)
Aber hier hab ich keine Idee. (die Tipps oben haben nicht wirklich geholfen...)
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Sry, weiß dort selbst noch nicht richtig weiter.
Ich denk ich sitze in der selben Vl wie du.
Wenn ich sie raus bekomme poste ich nochmal, kanns aber net versprechen.
lg
ConstantinJ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Hast du schon die 3d) raus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Do 24.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Könntest du mir evtl noch bei der a) helfen?
> Man betrachtet ja Z/4Z-->Z/4Z.
> Und es muss gelten f(x+y)=f(x)+f(y)
> Aber hier hab ich keine Idee. (die Tipps oben haben nicht wirklich geholfen...)
Dann solltest Du noch einmal deinen Skript studieren.
Ich habe den Eindruck, dass du den Begriff des Homomorphismus noch nicht verinnerlicht hast.
LG
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