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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mo 12.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien $(G,+)$ und [mm] $(H,\cdot)$ [/mm] Gruppen und [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \rightarrow [/mm] H$ ein Gruppenhomomorphismus, d.h. für alle $g,h [mm] \in [/mm] G$ gilt [mm] $\varphi [/mm] (g + h) = [mm] \varphi [/mm] (g) [mm] \cdot \varphi [/mm] (h)$. Das neutrale Element von G sei [mm] $e_G$ [/mm] und das neutrale Element von H [mm] sei$e_H$. [/mm] Zeigen Sie:
1) Ist $U [mm] \subseteq [/mm] G$ eine Untergruppe, so ist [mm] $\varphi [/mm] (U)$ eine Untergruppe von H.
Ist zusätzlich G kommutativ, so ist auch [mm] $\varphi [/mm] (U)$ kommutativ.
2) Ist $ V [mm] \subseteq [/mm] H$ eine Untergruppe, so ist [mm] $\varphi [/mm] ^{-1} (V)$ eine Untergruppe von G. |
Hi,
habe ich diese Aufgabe korrekt gelöst?
1)
Da U Untegruppe gilt für $u, [mm] v\in [/mm] U$ beliebig, dass
[mm] $a+b\in [/mm] U$ und
[mm] $a^{-1}\in [/mm] U$
Damit ist auch
[mm] $\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)\in [/mm] H$
[mm] $\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}$
[/mm]
Sei G kommutativ, dann ist
[mm] $\varphi(a+b)=\varphi(b+a)=\varphi(b)\cdot \varphi(a)$
[/mm]
Also ebenfalls kommutativ.
2)
Da V Untergruppe ist, gilt für [mm] $u,v\in [/mm] V$ beliebig [mm] $u+v\in [/mm] U$ und [mm] $u^{-1}\in [/mm] U$
[mm] $\varphi(u+v)^{-1}=\varphi(u)^{-1}\cdot\varphi(v)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\varphi(u^{-1})^{-1}=\varphi(u)$
[/mm]
Und damit hätte ich doch bereits alles gezeigt, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:13 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](G,+)[/mm] und [mm](H,\cdot)[/mm] Gruppen und [mm]\varphi : G \rightarrow H[/mm]
> ein Gruppenhomomorphismus, d.h. für alle [mm]g,h \in G[/mm] gilt
> [mm]\varphi (g + h) = \varphi (g) \cdot \varphi (h)[/mm]. Das
> neutrale Element von G sei [mm]e_G[/mm] und das neutrale Element von
> H sei[mm]e_H[/mm]. Zeigen Sie:
>
> 1) Ist [mm]U \subseteq G[/mm] eine Untergruppe, so ist [mm]\varphi (U)[/mm]
> eine Untergruppe von H.
> Ist zusätzlich G kommutativ, so ist auch [mm]\varphi (U)[/mm]
> kommutativ.
>
> 2) Ist [mm]V \subseteq H[/mm] eine Untergruppe, so ist [mm]\varphi ^{-1} (V)[/mm]
> eine Untergruppe von G.
> Hi,
>
> habe ich diese Aufgabe korrekt gelöst?
Ich nehme es vorweg: nein !
>
> 1)
>
> Da U Untegruppe gilt für [mm]u, v\in U[/mm] beliebig, dass
>
> [mm]a+b\in U[/mm] und
>
> [mm]a^{-1}\in U[/mm]
>
> Damit ist auch
>
> [mm]\varphi(a+b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)\in H[/mm]
>
> [mm]\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}[/mm]
Das sind doch nur die Eigenschaften eines Gruppenhomomorphismus !
Zeige: sind x,y [mm] \in \varphi(U), [/mm] so auch $x*y [mm] \in \varphi(U)$ [/mm] und [mm] x^{-1} \in \varphi(U).
[/mm]
>
> Sei G kommutativ, dann ist
>
> [mm]\varphi(a+b)=\varphi(b+a)=\varphi(b)\cdot \varphi(a)[/mm]
Zeige: ist G kommutativ, so gilt xy=yx für alle x,y [mm] \in \varphi(U).
[/mm]
>
> Also ebenfalls kommutativ.
>
> 2)
>
> Da V Untergruppe ist, gilt für [mm]u,v\in V[/mm] beliebig [mm]u+v\in U[/mm]
> und [mm]u^{-1}\in U[/mm]
>
> [mm]\varphi(u+v)^{-1}=\varphi(u)^{-1}\cdot\varphi(v)^{-1}[/mm]
>
> [mm]\varphi(u^{-1})^{-1}=\varphi(u)[/mm]
Das ist kompletter Unsinn ! Dir scheint die Bedeutung von $ [mm] \varphi [/mm] ^{-1} (V) $ nicht klar zu sein:
$ [mm] \varphi [/mm] ^{-1} (V) [mm] =\{a \in G : \varphi(a) \in V \}$
[/mm]
FRED
>
> Und damit hätte ich doch bereits alles gezeigt, oder?
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