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| Aufgabe | Es sei phi: G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus
(a) Zeigen sie, dass für alle h [mm] \in [/mm] H und alle g,g' [mm] \in phi^{-1}(\{h\}) [/mm] ein eindeutiges Element k [mm] \in [/mm] Kern phi existiert, so dass g' = gk gilt.
(b) Es seien h,h' [mm] \in [/mm] H, so dass [mm] phi^{-1}(\{h\}) [/mm] und [mm] phi^{-1}(\{h'\}) [/mm] nicht-leer sind. Geben Sie eine Bijektion zwischen [mm] phi^{-1}(\{h\}) [/mm] und [mm] phi^{-1}(\{h'\}) [/mm] an. |
Hallo,
Ich stehe bei diese Aufgabe im moment ziemlich auf dem Schlauch. Könntet ihr mir einen Tipp geben, wo ich anfangen muss und was für eigenschaften ich beachten muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:32 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=1040701
FRED
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OK da steht jetzt nur was zu Aufgabenteil b. Ich würde gerne erstmal a bearbeiten. Irgendwelche Tipps?
PS: Macht es einen Unterschied, ob ich schreibe [mm] phi^{-1}(\{h\}) [/mm] oder [mm] phi^{-1}(h) [/mm] ? Haben die Mengenklammern eine Bedeutung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> OK da steht jetzt nur was zu Aufgabenteil b. Ich würde
> gerne erstmal a bearbeiten. Irgendwelche Tipps?
>
> PS: Macht es einen Unterschied, ob ich schreibe
> [mm]phi^{-1}(\{h\})[/mm] oder [mm]phi^{-1}(h)[/mm] ? Haben die Mengenklammern
> eine Bedeutung?
Zunächst ist [mm] \phi^{-1}(\{h\})=\{x \in G: \phi(x)=h\}. [/mm] Manchmal schreibt man dafür auch etwas unpräzise [mm] \phi^{-1}(h).
[/mm]
Zu a) Aus g,g' [mm] \in \phi^{-1}(\{h\}) [/mm] folgt also
[mm] \phi(g)=h=\phi(g').
[/mm]
Berechne daraus [mm] \phi(g^{-1}*g').
[/mm]
FRED
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Danke für den Hinweis. Das hat geholfen. Ich hab die a jetzt. Mir fehlt nurnoch die b. Mit dem Hinweis aus dem anderen Artikel konnte ich nichts anfangen. Ich bräuchte noch mal einen kleinen Denkanstoß. (Oder eine andere Idee als in dem verlinkten Artikel)
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Hallo,
Was möchtest du denn für eine Idee? So viele natürliche Möglichkeiten, eine Bijektion hinzuschreiben, gibt es nicht. Ich habe drüben schon eine genannt: Sei $ [mm] g\in\varphi^{-1}(h) [/mm] $, $ [mm] g'\in\varphi^{-1}(h') [/mm] $.
Zeige, dass [mm] $a:\varphi^{-1}(h)\longrightarrow\varphi^{-1}(h') [/mm] $ mit $ [mm] x\longmapsto g'g^{-1} [/mm] x $ eine Abbildung ist. Das heißt für $ [mm] x\in\varphi^{-1}(h) [/mm] $ muss $ [mm] g'g^{-1} x\in\varphi^{-1}(h') [/mm] $ gelten.
Per Vertauschen der Rollen von $ h$ und $ h'$ ist auch [mm] $b:\varphi^{-1}(h')\longrightarrow\varphi^{-1}(h) [/mm] $ mit $ [mm] y\longmapsto g(g')^{-1} [/mm] y $ eine Abbildung.
Zeige nun, dass $ [mm] b\circ a=\operatorname{id}_{\varphi^{-1}(h)} [/mm] $. Per Vertauschen der Rollen ist auch $ [mm] a\circ b=\operatorname [/mm] {id} $.
Viel mehr Ideen kann man hierzu nicht haben. Man muss es jetzt nur noch nachrechnen. Die einzige andere Möglichkeit wäre, analog von rechts zu multiplizieren, wo ich es von links tue.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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