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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:11 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
| Aufgabe | Zu zeigen:
Für einen Gruppenhomomrphismus und zwei Gruppen gilt:
[mm] f(a^{-1}) [/mm] = [mm] (f(a))^{-1} [/mm] |
Hallo Forum,
zur späten Stunde fällt mir nichts mehr ein.
Also der GruppenH. hat ja die Eigenschaft:
- f(a * b) = f(a) * f(b)
Das mögliche Repertoir an Möglichkeiten um das zu beweisen ist also ziemlich beschränkt, trotzdem komme ich nicht drauf.
Mein Ansatz beruht bisher auf Spielerein mit dem neutralen Element, aber irgendwie führte das bisher zu nichts.
[mm] f(a^{-1}) [/mm] = [mm] (f(a))^{-1}
[/mm]
=>>
f(a [mm] a^{-1}) [/mm] = f [mm] (e_1) [/mm] = [mm] e_2
[/mm]
= f (a) * [mm] f(a^{-1}) [/mm] = [mm] e_2
[/mm]
Jemand einen Tip für mich?
Danke und Grüße
Mumrel
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Hallo Mumrel!
> Zu zeigen:
> Für einen Gruppenhomomrphismus und zwei Gruppen gilt:
> [mm]f(a^{-1})[/mm] = [mm](f(a))^{-1}[/mm]
Seien [mm]G,G'[/mm] zwei Gruppen und [mm]f:G \to G'[/mm] ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt zunächst (mit e und e' als neutralen Elementen der jeweiligen Gruppen): [mm]f(e)=e'[/mm], denn
[mm]f(e) = f(e*e) =f(e)*f(e) \gdw f(e)*f(e)^{-1} =f(e) \gdw e' = f(e)[/mm]
Damit können wir für alle [mm]a \in G[/mm] weitermachen:
[mm]e' = f(e) = f(a*a^{-1}) =f(a)*f(a^{-1}) \gdw f(a)^{-1} =f(a^{-1})[/mm]
Im letzten Schritt wurde [mm]f(a)[/mm] auf die andere Seite gebracht.
LG
Karsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Di 14.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Ok, dank dir Kartsen!
Grüße Mumrel
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