Gruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien $(G, [mm] \circ)$ [/mm] und $(H, [mm] \cdot)$ [/mm] zwei multiplikativ geschriebene Gruppen mit neutralen Elementen [mm] $e_{G}$ [/mm] bzw. [mm] $e_{H}$ [/mm] und $f : G [mm] \mapsto [/mm] H$ ein Gruppenhomomorphismus. Man beweise oder widerlege
1. [mm] $f(e_{G}) [/mm] = [mm] e_{H}$
[/mm]
2. Für alle $x [mm] \in [/mm] G$ gilt [mm] $f(x^{-1}) [/mm] = [mm] f(x)^{-1}$
[/mm]
3. $f$ ist genau dann injektiv, wenn [mm] $f^{-1}(\{e_{H}\})=\{e_G\}$
[/mm]
4. $H$ ist abelsch, falls $G$ abelsch ist. |
Ich habe ein bisschen in Wikipedia gestöbert und gefunden, dass ein Gruppenhomomorphismus eine strukturerhaltene Abbildung ist und dass die erste Aussage wahr sein muss. Nun suche ich nach einen Ansatz dies zu beweisen.
Den Anfang, den ich geschrieben habe lautet.
Seien [mm] $g_1, g_2 \in [/mm] G$
[mm] $\forall g_1, g_2 \in [/mm] G : [mm] f(g_1 \circ g_2) [/mm] = [mm] f(g_1) \cdot f(g_2)$
[/mm]
Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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Da Gruppenhomomorphismen strukturerhaltend sind, soweit ich das ergooglet habe, müsste dann doch auch die Eigenschaft der Kommutativität erhalten bleiben, oder? Wie setze ich am besten an, das zu beweisen?
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Hallo Jennifer,
betrachte zu 4. einmal den trivialen Homomorphismus [mm] $\varphi$, [/mm] der alle Elemente von G auf das Element [mm] $e_H$ [/mm] abbildet. Da kann G abelsch sein, doch H braucht es nicht, da kannst Du ein beliebiges nichtabelsches H sowie ein abelsches G für ein Gegenbeispiel wählen.
Was Du als Anfang aufschriebst, ist richtig, diese Eigenschaft verwendet man. Etwa in 1.: [mm] $f(e_G)=f(e_G\circ e_G) =f(e_G)\cdot f(e_G)=f(e_G)^2$, [/mm] weshalb [mm] f(e_G) [/mm] neutrales Element sein muss.
Oder gehe die Eigenschaft der Neutralität so an: [mm] $f(g)=f(e_G\circ g)=f(e_G)\cdot [/mm] f(g)\ [mm] \forall g\in [/mm] G$.
Viele Grüße,
Stefan
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Wenn ich das richtig verstanden habe, heißt das also 4. gilt nicht? Also wenn G abelsch ist, muss H gar nicht abelsch sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 30.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wenn ich das richtig verstanden habe, heißt das also 4.
> gilt nicht? Also wenn G abelsch ist, muss H gar nicht
> abelsch sein?
Genau, so ist dem. Nur das Bild von $G$ in $H$ (unter dem Homomorphismus) ist eine Untergruppe, die abelsch ist.
LG Felix
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Hallo Jennifer,
für 2. verwende 1. So kannst Du anfangen: [mm] $f(e_G)=f(x\circ x^{-1})=\ldots$ [/mm] , hier verwende Deinen Anfang, die Eigenschaft der Homomorphie.
Zu 1. habe ich in dem anderen Beitrag schon etwas geschrieben.
Viele Grüße,
Stefan
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